Question

Допоможіть будь ласка. Вікно має форму прямокутника, яке зверху закінчується півкругом. Яким має бути радіус півкруга (R півкруга), щоб при заданому периметру p вікно мало найбільшу площу.

Answer 1

Ответ:

r=P/(4+2π)

Пошаговое объяснение:

здесь у нас постоянная известная величина это периметр P=const. Но периметр сам зависит от радиуса свода окна r:

P=2b+a+2πr; a=2r ⇒ P=2b+2r+2πr ⇒ b=(P-2r-2πr)/2;

Ну а площадь окна:

S(r)=a*b+πr²;

S(r)=2r*(P-2r-2πr)/2+πr²; получили функцию одного переменного. Найдем точки экстремума:

вначале немного преобразуем функцию (для удобства)

S(r)=(2Pr-4r²-4πr²+2πr²)/2;

S(r)=(2Pr-4r²-2πr²)/2;

S(r)=Pr-2r²-πr²;

S(r)= -(2+π)r²+Pr; берем производную

S'(r)=-2(2+π)r+P; S''(r)=-2(2+π)<0 проверяем, что это именно максимум

S'(r)=0; -2(2+π)r+P=0; ⇒ r=(-P)/(-2(2+π)); ⇒ r=P/(4+2π); приравниваем производную к нулю, и находим значение радиуса

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу оптимізації.

Маємо вікно, яке складається з прямокутника і півкруга. Позначимо довжину прямокутника b, ширину прямокутника h і радіус півкруга R.

Периметр P вікна можна записати як:

\[P = 2b + h + \pi R\]

Ми хочемо знайти такі b, h та R, щоб площа вікна була максимальною. Площа обчислюється як:

\[S = b \cdot h + \frac{1}{2} \pi R^2\]

Маємо обмеження на периметр: \(P = 2b + h + \pi R\). Розв'язавши це обмеження відносно одного з параметрів (наприклад, b або h), можна підставити отримане значення в формулу для площі і отримати залежність площі від одного параметра. Після цього можна взяти похідну від площі відносно цього параметра і прирівняти її до нуля, щоб знайти критичні точки.

Однак, є один трюк, який полегшить цей процес. Використовуючи умову оптимальності, можна визначити, що сторона прямокутника повинна бути рівна діаметру півкруга (2R), тобто \(b = 2R\). Це можна побачити з того, що прямокутник і півкруг мають дотичну в точці з'єднання.

Тепер можна підставити це вираження для b в умову обмеження периметру та вираз для площі.

\[P = 2(2R) + h + \pi R\]

\[S = 2R \cdot h + \frac{1}{2} \pi R^2\]

Тепер можна вирішити цю задачу оптимізації відносно параметрів h та R, взявши похідні та розв'язавши систему рівнянь. Отримані значення h та R будуть оптимальними для максимізації площі вікна при заданому периметрі.