Question

Задан sint+cost=m, выразите его через m a)sint*cost b)tg³ф+ctg³ф

Answer 1

Конечно, давайте рассмотрим уравнение \( \sin(t) \cdot \cos(t) = m \) и выразим его через \( m \).

1. Выражение через \( \sin(t) \) и \( \cos(t) \): Используем тригонометрическое тождество \( \sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t) \). Разделим обе стороны на 2:

\[ \sin(t)\cos(t) = \frac{1}{2}\sin(2t) \]

Теперь умножим обе стороны на 2:

\[ 2\sin(t)\cos(t) = \sin(2t) \]

Теперь подставим \( m \) вместо \( \sin(2t) \):

\[ 2\sin(t)\cos(t) = m \]

2. Выражение через \( \tan(t) \) и \( \cot(t) \):

Рассмотрим тангенс и котангенс:

\[ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \]

и

\[ \cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)} \]

Теперь возведем обе стороны в куб:

\[ (\tan(t))^3 = \frac{\sin^3(t)}{\cos^3(t)} \]

и

\[ (\cot(t))^3 = \frac{\cos^3(t)}{\sin^3(t)} \]

Сложим эти два уравнения:

\[ (\tan(t))^3 + (\cot(t))^3 = \frac{\sin^3(t)}{\cos^3(t)} + \frac{\cos^3(t)}{\sin^3(t)} \]

Найдем общий знаменатель:

\[ (\tan(t))^3 + (\cot(t))^3 = \frac{\sin^3(t)\sin^3(t) + \cos^3(t)\cos^3(t)}{\sin^3(t)\cos^3(t)} \]

Сократим:

\[ (\tan(t))^3 + (\cot(t))^3 = \frac{\sin^6(t) + \cos^6(t)}{\sin^3(t)\cos^3(t)} \]

Таким образом:

\[ (\tan(t))^3 + (\cot(t))^3 = \frac{1}{\sin^3(t)\cos^3(t)} \]

Теперь умножим обе стороны на \( \sin(t)\cos(t) \):

\[ (\tan(t))^3 + (\cot(t))^3 = \frac{\sin(t)\cos(t)}{\sin^2(t)\cos^2(t)} \]

Подставим \( m \) вместо \( \sin(t)\cos(t) \):

\[ (\tan(t))^3 + (\cot(t))^3 = \frac{m}{\sin^2(t)\cos^2(t)} \]

Таким образом, мы выразили \( m \) через \( \tan(t) \) и \( \cot(t) \).