Question

18. Решите уравнения методом разложения на множители. 3) 4x²+3x-1=0; 4) 2x²+3x-5=0; 1) 2x²+5x-12=0; 2) 3x²-2x-1=0; 5) 5x2+23x-10=0; 6) 2x2+5x-7=0.​

Answer 1

Давайте розв'яжемо ці квадратні рівняння методом розкладання на множники:

1) 2x² + 5x - 12 = 0:
Для початку ми шукаємо два числа, які множаться до -24 (проізведення 2 і -12) і додаються до 5 (коефіцієнт перед x). Ці числа це 8 і -3.
Тепер розкладемо середній член:
2x² + 8x - 3x - 12 = 0.
Тепер факторизуємо:
2x(x + 4) - 3(x + 4) = 0.
Зараз ми можемо витягнути спільний множник (x + 4):
(2x - 3)(x + 4) = 0.
З цього ми отримуємо два можливих рішення:
2x - 3 = 0 => 2x = 3 => x = 3/2.
або
x + 4 = 0 => x = -4.

2) 3x² - 2x - 1 = 0:
Ми шукаємо два числа, які множаться до -3 (проізведення 3 і -1) і додаються до -2 (коефіцієнт перед x). Ці числа це -3 і 1.
Розкладемо середній член:
3x² - 3x + x - 1 = 0.
Факторизуємо:
3x(x - 1) + 1(x - 1) = 0.
Зараз ми можемо витягнути спільний множник (x - 1):
(3x + 1)(x - 1) = 0.
Отже, ми отримуємо два можливих рішення:
3x + 1 = 0 => 3x = -1 => x = -1/3.
або
x - 1 = 0 => x = 1.

Решта рівнянь можна розв'язати подібним чином, розкладаючи їх на множники.

Answer 2

Для решения квадратных уравнений методом разложения на множители, сначала выразим уравнение в виде произведения двух множителей. Общий вид квадратного уравнения:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения.

1. Уравнение \(4x^2 + 3x - 1 = 0\):

Умножим \(a\) на \(c\) (\(4 \times (-1) = -4\)) и найдем два числа, сумма которых равна \(b\) (\(3\)) и произведение которых равно \(-4\). Эти числа - 4 и 1.

Разложим средний член на два слагаемых, используя найденные числа:

\[4x^2 + 4x - x - 1 = 0\]

Группируем слагаемые:

\[4x(x + 1) - 1(x + 1) = 0\]

Выносим общий множитель:

\[(4x - 1)(x + 1) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = \frac{1}{4}\) и \(x = -1\).

2. Уравнение \(2x^2 + 3x - 5 = 0\):

Умножим \(a\) на \(c\) (\(2 \times (-5) = -10\)) и найдем два числа, сумма которых равна \(b\) (\(3\)) и произведение которых равно \(-10\). Эти числа - 5 и 2.

Разложим средний член на два слагаемых, используя найденные числа:

\[2x^2 - 5x + 2x - 5 = 0\]

Группируем слагаемые:

\[x(2x - 5) + 1(2x - 5) = 0\]

Выносим общий множитель:

\[(2x - 5)(x + 1) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = \frac{5}{2}\) и \(x = -1\).

3. Уравнение \(2x^2 + 5x - 12 = 0\):

Умножим \(a\) на \(c\) (\(2 \times (-12) = -24\)) и найдем два числа, сумма которых равна \(b\) (\(5\)) и произведение которых равно \(-24\). Эти числа - 8 и 3.

Разложим средний член на два слагаемых, используя найденные числа:

\[2x^2 - 8x + 3x - 12 = 0\]

Группируем слагаемые:

\[2x(x - 4) + 3(x - 4) = 0\]

Выносим общий множитель:

\[(2x - 3)(x - 4) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = \frac{3}{2}\) и \(x = 4\).

4. Уравнение \(3x^2 - 2x - 1 = 0\):

Умножим \(a\) на \(c\) (\(3 \times (-1) = -3\)) и найдем два числа, сумма которых равна \(b\) (\(-2\)) и произведение которых равно \(-3\). Эти числа - 1 и 3.

Разложим средний член на два слагаемых, используя найденные числа:

\[3x^2 - x - 2x - 1 = 0\]

Группируем слагаемые:

\[x(3x - 1) - 2(3x - 1) = 0\]

Выносим общий множитель:

\[(3x - 2)(x - 1) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = \frac{2}{3}\) и \(x = 1\).

5. Уравнение \(5x^2 + 23x - 10 = 0\):

Умножим \(a\) на \(c\) (\(5 \times (-10) = -50\)) и найдем два числа, сумма которых равна \(b\) (\(23\)) и произведение которых равно \(-50\). Эти числа - 25 и 2.

Разложим средний член на два слагаемых, используя найденные числа:

\[5x^2 + 25x - 2x - 10 = 0\]

Группируем слагаемые:

\[5x(x + 5) - 2(x + 5) = 0\]

Выносим общий множитель:

\[(5x - 2)(x + 5) = 0\]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = \frac{2}{5}\) и \(x = -5\).

6. Уравнение \(2x^2 + 5x - 7 = 0\):

Умножим \(a\) на \(c\) (\(2 \times (-7) = -14\)) и найдем два числа, сумма которых равна \(b\) (\(5\)) и произведение которых равно \(-14\). Эти числа - 7 и 2.

Разложим средний член на два слагаемых, используя найденные числа:

\[2x^2 - 7x + 2x - 7 = 0\]