Question

II ЕТАП ВСЕУКРАЇНСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ 2022-2023 H.P. #Будьроим 1. Розв'яжіть рiвняння При деяких дивних і вельми таемничих обставинах окремi парні числа поводять себе як непарні Евклід x¹ +331x²= 2022. 2. Доведіть, що для довİльних натуральних чисел и i m виконується нерівність nn.mm znm.m". 3. Серед чисел вигляду и4 + 4, де п - довiльне натуральне число, знайти всі прості числа. 4. На стороні ВС квадрата АBCD вибрали точку М і побудували квадрат BKLM. Виявилося, що AC = AL. Знайдіть ​

Answer 1

Ответ:Давайте розглянемо кожне завдання окремо:

Розв'яжіть рівняння: x¹ + 331x² = 2022.

Спростимо рівняння: x + 331x² = 2022.

Перенесемо всі члени на одну сторону: 331x² + x - 2022 = 0.

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою дискримінанта:

D = 1² - 4 * 331 * (-2022) = 1 + 2668448 = 2668449.

Розв'язок дискримінанта D вказує на те, що рівняння має два корені:

x₁ = (-1 + √2668449) / (2 * 331)

x₂ = (-1 - √2668449) / (2 * 331)

x₁ та x₂ - це два розв'язки рівняння.

Доведіть, що для довільних натуральних чисел n і m виконується нерівність nn * mm ≥ (n + m)².

Для доведення цієї нерівності розкриємо ліву сторону:

nn * mm = n² * m².

А також праву сторону:

(n + m)² = n² + 2nm + m².

Тепер порівняємо ці вирази:

n² * m² ≥ n² + 2nm + m².

Віднімемо n² та m² з обох сторін:

n² * m² - n² - m² ≥ 2nm.

Тепер додамо 1 до обох сторін (1 - це завжди додатнє число):

n² * m² - n² - m² + 1 ≥ 2nm + 1.

Продовжимо обчислення:

(n² - 1) * (m² - 1) ≥ 2(nm + 1).

Таким чином, ми довели нерівність nn * mm ≥ (n + m)².

Серед чисел вигляду n⁴ + 4, де n - довільне натуральне число, знайдіть всі прості числа.

Щоб знайти прості числа в такому вигляді, ми можемо використовувати малу теорему Ферма. Ця теорема стверджує, що якщо p - просте число, то для будь-якого натурального числа a, яке не ділиться на p, виконується наступна рівність:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

В даному випадку, ми шукаємо числа вигляду n⁴ + 4. Перевіримо їх за допомогою малої теореми Ферма для простих чисел p. Якщо n⁴ + 4 ≡ 1 (mod p), то p - просте число.

Наприклад, для p = 5:

1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5 ≡ 0 (mod 5). Позитивний результат.

Для p = 7:

2. 1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5 ≡ 5 (mod 7). Негативний результат.

Для p = 11:

3. 1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5 ≡ 5 (mod 11). Негативний результат.

Таким чином, n⁴ + 4 є простим числом лише для p = 5. В інших випадках вони не є простими числами.

На жаль, ваше четверте завдання (про побудову квадрата BKLM) обривається, і ви не навели текст завдання. Якщо ви надаєте текст завдання, я готовий допомогти з ним.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання окремо:

1. Розв'язати рівняння: \[331x^2 = 2022.\] Щоб розв'язати це рівняння, спочатку поділимо обидві сторони на 331: \[x^2 = \frac{2022}{331}.\] Тепер витягнемо квадратний корінь: \[x = \pm \sqrt{\frac{2022}{331}}.\] Це дає дві пари значень x. Пам'ятайте, що парне число має два корені - один додатний і один від'ємний.

2. Довести нерівність: \[n^n \cdot m^m + z^n \cdot m^m > 0.\] Почнемо з розгляду виразу: \[n^n \cdot m^m + z^n \cdot m^m = (n^n + z^n) \cdot m^m.\] Оскільки \(m^m\) завжди додатне для будь-якого натурального \(m\), достатньо довести, що \(n^n + z^n > 0\). Це вже виконується для будь-яких натуральних чисел \(n\) і \(z\), оскільки обидва додаються у ступені \(n\), і це завжди буде додатнім числом.

3. Знайти всі прості числа серед чисел вигляду \(i^4 + 4\), де \(i\) - довільне натуральне число. Розглянемо вираз \(i^4 + 4\). Цей вираз можна факторизувати як \((i^2 + 2i + 2)(i^2 - 2i + 2)\). Оскільки \(i^2 + 2i + 2\) завжди більше 1 для будь-якого натурального \(i\), простим може бути тільки другий множник \(i^2 - 2i + 2\). Однак цей вираз не завжди є простим числом. Таким чином, відповідь на це питання - взагалі немає простих чисел серед чисел вигляду \(i^4 + 4\).

4. Знайти \(AC\) у квадраті \(ABCD\), де вибрана точка \(M\) така, що \(AC = AL\). Оскільки \(AC = AL\), трикутники \(AMC\) і \(AML\) прямокутні, і вони подібні (за правилом \(AA\)). Також, оскільки \(AC\) є діаметром, кут \(ABC\) прямий.

Зараз розглянемо відношення сторін подібних трикутників \(AMC\) і \(AML\): \[\frac{AL}{AC} = \frac{AM}{AB}.\] Оскільки \(AC = AL\), отримуємо: \[\frac{AL}{AL} = \frac{AM}{AB}.\] Звідси випливає, що \(AM = AB\).

Тепер, ми знаємо, що \(AM = AB\), \(AC = AL\), і кут \(ABC\) прямий. Таким чином, квадрат \(BKLM\) - це квадрат, вписаний у трикутник прямокутний при вершині \(A\). З цього можна визначити відношення сторін квадрата \(BKLM\) та трикутника \(ABCD\).

Зрештою, знаючи відношення сторін квадрата і трикутника, можна визначити значення \(AC\) або \(AL\).