Question

Знайдіть область значення функції y=x²+4x-5

Answer 1

Щоб знайти область значень функції y = x² + 4x - 5, спершу знайдемо вершину параболи, яка описує цю функцію.

Функція має квадратичну форму, і її графік - це парабола. Знайдемо координати вершини параболи за допомогою формули для вершини параболи: x = -b / (2a), де a і b - коефіцієнти перед x² і x.

У вашому випадку a = 1 і b = 4. Знаходимо x:

x = -4 / (2 * 1) = -4 / 2 = -2

Тепер, знаючи x, знайдемо y, підставивши його в функцію:

y = x² + 4x - 5

y = (-2)² + 4 * (-2) - 5

y = 4 - 8 - 5

y = -9

Отже, вершина параболи знаходиться в точці (-2, -9).

Тепер ми знаємо, що це парабола зі зниженням (оскільки a = 1 > 0) і її вершина знаходиться в точці (-2, -9). Оскільки це парабола зі зниженням, вона не має верхнього обмеження, тобто вона простягається від вершини нескінчено вниз. Тобто область значень функції y = x² + 4x - 5 - це всі дійсні числа, які менше або рівні -9.

Математично це можна виразити як: y ≤ -9.

Answer 2

Щоб знайти область значень функції y = x² + 4x - 5, спочатку давайте з'ясуємо, що означає область значень.

Область значень функції визначається множиною всіх можливих значень y, які можуть бути отримані шляхом підстановки різних значень x в функцію. Іншими словами, область значень - це діапазон усіх можливих виходів (y-значень) функції.

Для нашої функції y = x² + 4x - 5, немає жодних обмежень на значення x. Тобто, x може бути будь-яким дійсним числом. Однак, нам потрібно знайти діапазон y-значень.

Щоб знайти діапазон y-значень, можемо використовувати квадратне рівняння, оскільки у нас є квадратний член (x²). Квадратне рівняння може мати мінімальне або максимальне значення залежно від коефіцієнтів.

Знайдемо вершину параболи:

Для цього можемо скористатися формулою x = -b/(2a), де a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння ax² + bx + c = 0.

У нашому випадку, a = 1, b = 4 і c = -5. Підставивши ці значення в формулу, отримуємо: x = -4/(2*1) = -4/2 = -2.

Тепер, коли ми знаємо значення x, можемо обчислити відповідне значення y: y = (-2)² + 4*(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.

Таким чином, вершина параболи має координати (-2, -9).

Визначимо діапазон y-значень:

Парабола звернена вгору (тому що коефіцієнт при x² дорівнює 1), тому найменше значення y буде відповідати значенню y в вершині параболи, тобто y = -9.

Тому, область значень функції y = x² + 4x - 5 буде всі дійсні числа, більші або рівні -9.

Візуалізація функції:

Зобразимо графік функції y = x² + 4x - 5, щоб проілюструвати область значень.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x**2 + 4*x - 5

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графік функції y = x² + 4x - 5')
plt.grid(True)
plt.show()

На графіку ви зможете побачити, що значення y знаходяться в діапазоні, більшому або рівному -9.