Question

Докажите неравентво (а+1)(а+1)(а+1)(а+1)>=16abc (если а>0,b>0,c>0

Answer 1

Ну, вообще, чисто теоретически, данное неравенство имеет место быть, но только при том условии, что b и c <= a;
Преобразуем немного левую часть :
$(a+1)(a+1)(a+1)(a+1) \geq 16abc$
$(a^2+2a+1)(a^2+2a+1) \geq 16abc$
$a^4+4a^3+6a^2+4a+1 \geq 16abc$

Теперь, можно попробовать подставить a=1
У нас получается 16≥16bc . При а=1: b=1; c=1 ; (Удовлетворяет b,c≤a)
При а=2 наша ситуация выглядит так :
81≥32bc. Тут уже ситуаций будет немного побольше, а именно:
$\left \{ {{b=2,c=1 } \atop {b=1,c=2 }} \right.$
Ну и так далее... В общем,
(а+1)(а+1)(а+1)(а+1)≥16abc ⇔ ∃ a,b,c>0 :  (a≥b,c) .
Надеюсь, доказал верно :D

Answer 2

Для того чтобы доказать неравенство (а+1)(а+1)(а+1)(а+1) >= 16abc при условии, что а>0, b>0, c>0, давайте разберемся сначала с левой частью неравенства.

(а+1)(а+1)(а+1)(а+1) можно переписать в виде (а+1)^4. Разложим это выражение:

(а+1)^4 = а^4 + 4а^3 + 6а^2 + 4а + 1

Теперь рассмотрим правую часть неравенства 16abc. Мы знаем, что а, b и c все положительные числа, поэтому их произведение тоже будет положительным числом.

Теперь сравним левую и правую части неравенства:

(а+1)^4 = а^4 + 4а^3 + 6а^2 + 4а + 1 16abc

Мы видим, что выражение (а+1)^4 содержит слагаемые с а в четвертой, третьей, второй и первой степени, а также константу. Из условия, что а, b и c положительные числа, следует, что выражение 16abc содержит только положительные слагаемые.

Теперь давайте рассмотрим, какое значение может принимать выражение (а+1)^4 при условии, что а>0. Поскольку (а+1)^4 содержит только положительные слагаемые, и мы знаем, что а>0, то (а+1)^4 будет больше 16abc.

Таким образом, мы доказали неравенство (а+1)(а+1)(а+1)(а+1) >= 16abc при условии, что а>0, b>0, c>0.