Question

натуральне число п піднесли до третього степеня. Доведіть що хоча б одне з чисел n³+n чи n³-n ділиться на 10​

Answer 1

Ответ 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ⁺² + 3ⁿ- 2ⁿ⁺²  - 2ⁿ = 3ⁿ(3² + 1) - 2ⁿ(2² + 1) = 3ⁿ·10 - 2ⁿ·5 = 3ⁿ·10 - 2ⁿ⁻¹·2·5 = 3ⁿ·10 - 2ⁿ⁻¹·10 = 10( 3ⁿ - 2ⁿ⁻¹)

Оскільки вираз 10( 3ⁿ - 2ⁿ⁻¹) ділиться націло на 10 , то і 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ також ділиться націло на 10.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Добре, спробую пояснити. Перш ніж довести це для n³ + n та n³ - n, давайте розглянемо натуральне число, підняте до третього степеня:

\(n^3\)

Тепер, щоб довести, що хоча б одне з чисел n³ + n або n³ - n ділиться на 10, спробуємо розкласти їх у вирази, які можна спростити.

1. \(n^3 + n\)

Це можна переписати у такий спосіб: \(n(n^2 + 1)\). Якщо розглянути це в контексті ділення на 10, ми маємо два можливих випадки для ділення на 10: - Перший випадок: Якщо \(n\) - парне число, то \(n^2\) теж буде парним. У такому випадку \(n^2 + 1\) буде непарним. Оскільки один множник \(n\) - парне число, результат (произведение) також буде парним. Тобто, для парного n, \(n(n^2 + 1)\) не буде кратним 10. - Другий випадок: Якщо \(n\) - непарне число, то \(n^2\) буде також непарним. У такому випадку \(n^2 + 1\) буде парним. Тому \(n(n^2 + 1)\) буде кратним \(n\) 10, оскільки один множник \(n\) - непарне число, що дозволяє виявити кратність 10.

2. \(n^3 - n\)

Аналогічно можемо переписати це як \(n(n^2 - 1)\), що дорівнює \(n(n + 1)(n - 1)\). Аналізуючи кожний множник окремо: - Один з трьох множників точно буде парним числом (бо одне з чисел n-1, n або n+1 завжди буде парним). - Два інших множники будуть поспіль йти, різниця між ними завжди буде 2 (наприклад: 3*2*1, 4*3*2, і так далі). - Отже, ми завжди матимемо парне число помножене на наступні парні числа. Це означає, що n(n^2 - 1) буде кратним 10, оскільки його складові парні.

Таким чином, ми показали, що хоча б один з виразів n³ + n або n³ - n ділиться на 10, проте не обов'язково кожен з них.