Question

Точки А и В лежат на ребре двугранного угла, равного 90°. АС и BD - перпендикуляры к ребру двугранного угла, лежащие на разных гранях. Найдите длину отрезка CD, если AB=6см, AC=3см, BD=2см.

Answer 1

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой Пифагора и соотношением между сторонами прямоугольного треугольника.

Обозначим точку пересечения СD и AB как E. Также обозначим длину отрезка CD как x.

Так как AC и BD являются перпендикулярами к AB, то треугольник AEC и треугольник BED прямоугольные.

Из треугольника AEC по теореме Пифагора получаем:

AE^2 + EC^2 = AC^2 AE^2 + x^2 = 3^2 AE^2 + x^2 = 9

Из треугольника BED по теореме Пифагора получаем:

BE^2 + ED^2 = BD^2 BE^2 + (x + EC)^2 = 2^2 BE^2 + (x + x)^2 = 4 BE^2 + 4x^2 = 4

Заметим, что AE = BE и EC = ED, так как эти отрезки являются высотой треугольников AEC и BED соответственно.

Теперь мы имеем систему уравнений:

AE^2 + x^2 = 9 BE^2 + 4x^2 = 4

Tак как AE = BE, можно сложить эти два уравнения:

2AE^2 + 5x^2 = 13

Так как AE = BE и AE^2 + x^2 = 9, мы можем заменить 2AE^2 на 2(9 - x^2):

2(9 - x^2) + 5x^2 = 13 18 - 2x^2 + 5x^2 = 13 3x^2 = 5 x^2 = 5/3 x = √(5/3) cm x ≈ 1.29 cm

Таким образом, длина отрезка CD равна примерно 1.29 см.