Question

Совершенные числа: существуют ли нечетные совершенные числа? Бесконечны ли четные совершенные числа?

Answer 1

Ответ:

Нечетных совершенных чисел не существует. Все известные совершенные числа являются четными. Относительно бесконечности четных совершенных чисел, это вопрос, до сих пор не доказанный или опровергнутый, и остается открытым вопросом в теории чисел, известным как "гипотеза совершенных чисел".

Answer 2

Совершенные числа - это натуральные числа, сумма всех своих делителей (кроме самого себя) равна самому себе. Примером совершенного числа является 28, так как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Относительно вопроса о нечетных совершенных числах: на данный момент неизвестно существует ли какое-либо нечетное совершенное число. Все известные совершенные числа являются четными. Некоторые математики считают, что нечетных совершенных чисел не существует вообще, но данное утверждение не было доказано.

Что касается четных совершенных чисел, на данный момент известно бесконечно много из них. Впервые Евклид доказал, что если \(2^p - 1\) является простым числом, то \((2^{p-1}) \cdot 2^p\) - совершенное число, где \(p\) и \(2^p - 1\) также простые числа. Это открытие позволяет строить бесконечное количество четных совершенных чисел, исходя из простых чисел вида \(2^p - 1\).

Таким образом, четные совершенные числа действительно образуют бесконечный ряд.