Question

Y''+6y'+9y=3x-7 помогите решить

Answer 1

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения можно использовать метод вариации постоянной. Давайте разберемся, как это сделать.

Шаг 1: Нахождение общего решения однородного уравнения

Начнем с решения однородного уравнения, то есть уравнения без правой части: Y'' + 6Y' + 9Y = 0. Для его решения, предположим, что Y имеет вид Y = e^(mx), где m - некоторая константа. Подставим это в уравнение и получим:

m^2e^(mx) + 6me^(mx) + 9e^(mx) = 0.

Теперь факторизуем это уравнение:

e^(mx)(m^2 + 6m + 9) = 0.

Так как e^(mx) никогда не равно нулю, то у нас остается уравнение:

m^2 + 6m + 9 = 0.

Решим это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации:

(m + 3)^2 = 0.

Отсюда получаем, что m = -3.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

Yh = c1e^(-3x) + c2xe^(-3x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Частное решение неоднородного уравнения

Теперь нам нужно найти частное решение неоднородного уравнения: Y'' + 6Y' + 9Y = 3x - 7.

Поскольку правая часть является линейной функцией x, мы предполагаем, что частное решение имеет вид Yp = Ax + B, где A и B - некоторые константы. Подставим это в уравнение и найдем значения A и B:

2A + 6Ax + 6B + 9Ax + 9B = 3x - 7.

Собирая все члены с x, получаем:

(6A + 9A)x = 3x.

Сравнивая коэффициенты при x, получаем:

15A = 3,

откуда A = 1/5.

Теперь найдем значение B:

2A + 6B + 9B = -7.

Подставляем значение A и решаем уравнение:

2(1/5) + 6B + 9B = -7,

2/5 + 15B = -7,

15B = -7 - 2/5,

15B = -37/5,

B = -37/75.

Таким образом, частное решение имеет вид:

Yp = (1/5)x - 37/75.

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения можно получить, сложив общее решение однородного уравнения (Yh) и частное решение (Yp):

Y = Yh + Yp.

Подставляя значения Yh и Yp, получаем:

Y = c1e^(-3x) + c2xe^(-3x) + (1/5)x - 37/75.

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Таким образом, это является общим решением данного линейного дифференциального уравнения второго порядка.