Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями у=2х+3 ; y=0; x=2; x=4​

Answer 1

Ответ:

S=18

Пошаговое объяснение:

Сначала рисуем фигуру, потом считаем соответствующий интеграл

$S=\int\limits^a_b {\bigg (y_0(x)-y_1(x)\bigg)} \, dx$

a, b - интервал изменения х;

y₀(x) - функция, график которой лежит "выше" на координатной плоскости;

y₁(x) - функция, график которой лежит "нижу" на координатной плоскости.

В нашем случае х изменяется от 2 до 4.

y₀(x) = 2x+3;

y₁(x) = 0

Теперь считаем интеграл

$\displaystyle S= \int\limits^4_2 {(2x+3-0)x} \, dx =2\int\limits^4_2 {x} \, dx +3\int\limits^4_2 \, dx =2*\frac{x^2}{2} \bigg|_2^4+3x \bigg|_2^4=\\\\=4^2-2^2+3*4-3*2=18$

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями, вам потрібно знайти вершини цих ліній та знайти їх координати.

Перша лінія: у = 2х + 3 Щоб знайти її вершину, потрібно прирівняти у до нуля: 0 = 2х + 3 2х = -3 х = -3/2 Таким чином, перша лінія перетинає ось Х при координатах (-3/2, 0).

Друга лінія: у = 0 Це просто ось Y, тобто друга лінія проходить через початок координат (0, 0).

Третя лінія: х = 2 Це вертикальна лінія, яка проходить через точку (2, 0).

Четверта лінія: х = 4 Це також вертикальна лінія, яка проходить через точку (4, 0).

Тепер вам потрібно знайти площу фігури між цими лініями. Це можна зробити декількома способами, але найпростішим способом є використання формули для площі трапеції.

Площа трапеції може бути обчислена за формулою: S = (a + b) * h / 2, де a та b - паралельні сторони трапеції, а h - висота трапеції.

У нашому випадку паралельні сторони - це відрізок від (-3/2, 0) до (2, 0) та відрізок від (4, 0) до (2, 0). Висота - це відрізок між осью X та графіком y = 2x + 3.

Таким чином, маємо: a = 2 - (-3/2) = 2 + (3/2) = 4/2 + 3/2 = 7/2 b = 4 - 2 = 2 h = відстань від графіку y = 2x + 3 до осі X

Щоб знайти висоту, потрібно знайти точку перетину цього графіка з осью X: 0 = 2x + 3 2x = -3 x = -3/2

Отже, точка перетину з осью X - це (-3/2, 0). Використовуючи цю точку і початкову точку (-3/2, 0), висота становить -3/2.

Застосовуючи формулу площі трапеції, маємо: S = (a + b) * h / 2 S = (7/2 + 2) * (-3/2) / 2 S = (13/2) * (-3/2) / 2 S = -39/4

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 2x + 3, y = 0, x = 2 та x = 4, дорівнює -39/4.