Question

найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство 3 - |x - a| > x² имеет хотя бы одно отрицательное решение

Answer 1

Ax²+bx+c
Необходимо выполнение условий
1)D≥0
2)c/a<0
x²+/x-a/-3<0
a)x-a<0
x²-x+a-3<0
D=1-4a+12=13-4a≥0⇒a≤13/4
a-3<0⇒a<3
a∈(-∞;3)
b)x-a≥0
x²+x-a-3<0
D=1+4a+12=13+4a≥0⇒a≥-13/4
-a-3<0⇒a>-3
a∈(-3;∞)
Ответ а∈(-3;3)

Answer 2

Для начала рассмотрим неравенство 3 - |x - a| > x². Для того чтобы найти все значения параметра a, при которых неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение, нужно рассмотреть три случая:

1. Когда x - a < 0, т.е. x < a: Тогда неравенство примет вид 3 - (a - x) > x², или 3 + x - a > x². После преобразований получаем квадратное уравнение вида x² - x + (a - 3) < 0. Для того чтобы это уравнение имело хотя бы одно отрицательное решение, дискриминант должен быть меньше нуля: D = 1 - 4(a - 3) < 0. Отсюда получаем a < 7/4.

2. Когда x - a > 0, т.е. x > a: Тогда неравенство примет вид 3 - (x - a) > x², или 3 + a - x > x². После преобразований получаем квадратное уравнение вида x² + x - (a + 3) > 0. Для того чтобы это уравнение имело хотя бы одно отрицательное решение, дискриминант должен быть меньше нуля: D = 1 + 4(a + 3) < 0. Отсюда получаем a < -3/4.

3. Когда x - a = 0, т.е. x = a: Тогда неравенство примет вид 3 - |0| > a², или 3 > a². Отсюда получаем a > -√3 и a < √3.

Итак, все значения параметра a, при которых неравенство 3 - |x - a| > x² имеет хотя бы одно отрицательное решение, будут лежать в интервале (-√3, -3/4) объединенном с интервалом (7/4, √3).