Question

В параллелограмме ABCD угол при вершине A равен 60∘, AB=69 и BC=81. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AD в точке E, а луч CD — в точке F. Найдите длину отрезка EF

Answer 1

Ответ:

Ef=12

Пошаговое объяснение:

сам олимпиаду щас делаю, потом распишу

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойство биссектрисы треугольника.

Обозначим через x длину отрезка AE и через y длину отрезка EC.

Так как угол ABC равен 60 градусов, то угол ABE равен 30 градусов (так как ABE — биссектриса угла ABC).

Рассмотрим треугольник ABE:

1. Найдем длину отрезка BE:

По теореме косинусов: AB² = AE² + BE² - 2 · AE · BE · cos(ABE) 69² = x² + BE² - 2 · x · BE · cos(30°) 69² = x² + BE² - x · BE Применим теорему синусов: BE / sin(ABE) = x / sin(30°) BE / (1/2) = x / (1/2) BE = x Подставим в первое уравнение: 69² = x² + x² - x² 69² = 2x² x² = (69²) / 2 x = √(69² / 2)

2. Найдем длину отрезка AE:

AE = x = √(69² / 2)

Теперь рассмотрим треугольник ECD:

1. Найдем длину отрезка DF:

По теореме косинусов: CD² = CF² + DF² - 2 · CF · DF · cos(DCF) 81² = EC² + DF² - 2 · EC · DF · cos(60°) 81² = y² + DF² - y · DF Применим теорему синусов: DF / sin(CFD) = y / sin(60°) DF / (√3/2) = y / (√3/2) DF = y Подставим в первое уравнение: 81² = y² + y² - y² 81² = 2y² y² = (81²) / 2 y = √(81² / 2)

2. Найдем длину отрезка EC:

EC = y = √(81² / 2)

Теперь, чтобы найти длину отрезка EF, нужно сложить длины отрезков AE и EC: EF = √(69² / 2) + √(81² / 2)

Подставив числовые значения, получаем окончательный ответ.