Question

Найти уравнение нормали к линии заданной уравнением y^2=x^3/(2a-x) в начале координат

Answer 1

Преобразуем данное уравнение
$y^2-\frac{x^3}{2a-x} =0$
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F(x,y)=0 в точке M₀(x₀,y₀) записывается в виде
$\frac{x-x_0}{(\frac{\partial F}{\partial x} )_{M_0}} + \frac{y-y_0}{(\frac{\partial F}{\partial y} )_{M_0}} =0$
$\frac{\partial }{\partial x}(y^2-\frac{x^3}{2a-x})= \frac{3x^2(2a-x)+x^3}{(2a-x)^2} \\ (\frac{\partial F }{\partial x})_{M_0} = \frac{3*0^2(2a-0)+0^3}{(2a-0)^2}=0 \\ \frac{\partial }{\partial y}(y^2-\frac{x^3}{2a-x})= 2y \\ (\frac{\partial F }{\partial y})_{M_0} = 2*0=0$
Поскольку делить на 0 нельзя, значит, нормаль к линии в указанной точке не существует

Answer 2

Для поиска уравнения нормали к заданной линии в начале координат, мы можем использовать следующий метод:

1. Найти производную функции, заданной уравнением. 2. Найти угловой коэффициент нормали. 3. Используя угловой коэффициент и начальную точку (в данном случае, начало координат), составить уравнение нормали.

Давайте начнем с первого шага.

Найти производную функции

Исходное уравнение: \(y^2 = \frac{x^3}{2a-x}\)

Для начала, давайте выразим y через x, чтобы можно было взять производную:

\[y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\]

Теперь мы можем взять производную от y по x, используя правило дифференцирования сложной функции.

\[y' = \pm \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}} \cdot \left(3x^2(2a-x) - x^3(-1)\right) \cdot (2a-x)^{-2}\]

После упрощения, получим:

\[y' = \pm \frac{3x^2(2a-x) + x^3}{2(2a-x)^\frac{3}{2}}\]

Найти угловой коэффициент нормали

Угловой коэффициент нормали к кривой задается формулой \(m = -\frac{1}{y'}\).

Теперь мы можем подставить \(y'\) в эту формулу и найти угловой коэффициент нормали.

\[m = -\frac{1}{\left(\pm \frac{3x^2(2a-x) + x^3}{2(2a-x)^\frac{3}{2}}\right)}\]

Составить уравнение нормали

Уравнение нормали к кривой в точке \((x_1, y_1)\) с угловым коэффициентом \(m\) задается формулой \(y - y_1 = m(x - x_1)\).

Так как мы ищем уравнение нормали в начале координат \((0, 0)\), у нас есть начальная точка и угловой коэффициент, найденный ранее.

Теперь, подставив \(x_1 = 0\), \(y_1 = 0\) и \(m\) в уравнение, мы можем найти уравнение нормали к заданной линии в начале координат.

\[y - 0 = m(x - 0)\]

\[y = mx\]

Таким образом, уравнение нормали к заданной линии в начале координат будет \(y = mx\), где \(m = -\frac{1}{\left(\pm \frac{3x^2(2a-x) + x^3}{2(2a-x)^\frac{3}{2}}\right)}\).

Помните, что в данном случае \(m\) будет зависеть от \(x\) и \(a\), поэтому итоговое уравнение нормали будет зависеть от этих переменных.