Question

Kаковы должны быть размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 93,312π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Answer 1

"Чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала" значит, что площадь его поверхности должна быть наименьшей, а объем фиксировано равен 93,312π.

Объем цилиндра находится по формуле: V = π*r²*h

Площадь поверхности цилиндра это площадь 2 его оснований + площадь боковой поверхности.

Sосн = π*r²

Sбок = 2*π*r*h

Sпов = 2*π*r*h + 2*π*r² = 2*π*r*(r + h)

V = π*r²*h = 93,312π ⇔ r²*h = 93,312 ⇔ h = 93,312 / r² (на r можно делить т.к r > 0)

Подставим это в формулу площади:

Sпов = 2*π*r*(r + 93,312 / r²)

Пусть f(r) = 2*π*r*(r + 93,312 / r²)  = 2*π*r² + 2*π*93,312 / r

Чтобы найти точки экстремума функции, найдем её производную:

f'(r) = 4*π*r - 2*π*93,312 / r²

Теперь, приравняем производную к нулю:

4*π*r - 2*π*93,312 / r² = 0       | : 4*π

r - 46,656 / r² = 0        | * r² > 0

r³ = 46,656

Т.к 27 < 46,656 < 64, то 3 < r < 4

46,656 оканчивается на 6, значит в конце дробной части числа r находится 6, потому что число с 6 на конце в любой степени оканчивается на 6. Число с 4 на конце оканчивается на 6 только в четной степени. В этом числе 3 цифры после запятой, а r как раз в третьей степени, поэтому надо проверить r с одной цифрой после запятой. Проверим число 3,6:

3,6 * 3,6 = 12,96

12,96 * 3,6 = 46,656.

Ответом действительно является 3,6

Подставим r = 3,6 в r²*h = 93,312

3,6² * h = 93,312

3,6² * h = 3,6³ * 2

h = 7,2

Ответ: r = 3,6; h = 7,2

Answer 2

Чтобы найти размеры закрытого цилиндрического бака, объем которого равен 93,312π, и при этом на его изготовление ушло наименьшее количество материала, необходимо минимизировать площадь поверхности бака. Площадь поверхности цилиндра равна площади его основания, умноженной на 2, плюс площадь боковой поверхности. В данном случае, объем бака задан, поэтому нам нужно решить задачу минимизации площади поверхности бака, удерживая объем постоянным.

1. Определите формулу для объема цилиндра: V = π*r²*h, где r - радиус бака, h - высота бака. В данном случае, V = 93,312π.

2. Из формулы объема цилиндра можно выразить высоту h через радиус r: h = V / (π*r²). Подставляем заданный объем в эту формулу, получаем h = 93,312π / (π*r²).

3. Площадь поверхности цилиндра равна 2*π*r*h + 2*π*r². Подставляем выражение для h из пункта 2, получаем f(r) = 2*π*r*(r + 93,312 / (π*r²)).

4. Чтобы найти точки экстремума функции, найдите её производную. Получаем f'(r) = 4*π*r² + 4*π*93,312 / (π*r³).

5. Найдите значения r, при которых производная равна нулю. Решите уравнение 4*π*r² + 4*π*93,312 / (π*r³) = 0.

6. Проверьте, насколько точно решение удовлетворяет условию задачи, подставив его в исходное уравнение и проверив, удовлетворяет ли оно условию.

Таким образом, можно найти значения радиуса и высоты, при которых площадь поверхности цилиндра минимальна, и, следовательно, на его изготовление ушло наименьшее количество материала .