Question

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объёмом V. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Answer 1

S=2ПR^2+2ПRH=2ПR(R+H)

V=ПR^2H

H=V/ПR^2

S=2ПR(R+V/ПR^2)

F(R)=R(R+V/ПR^2)=R^2+V/ПR

F'(R)=2R-V/ПR^2

R=(V/2П)^(1/3)

Answer 2

Для определения размеров бака, требующих наименьшее количество материала, можно использовать принцип минимизации поверхности. Чтобы достичь этой цели, бак должен быть сферическим, так как сфера имеет наименьшую поверхность среди всех тел с заданным объемом.

Объем сферического бака можно выразить следующей формулой:

V = (4/3) * π * r^3,

где V - объем бака, r - радиус сферы.

Чтобы найти радиус сферы, необходимо переписать формулу, выражая r через V:

r = (3V / (4π))^(1/3).

Таким образом, радиус сферы будет равен (3V / (4π))^(1/3).

Если вам требуется цилиндрический бак, то стоит учесть, что поверхность цилиндра будет больше, чем поверхность сферы с тем же объемом. Если вы все же хотите использовать цилиндр, то лучший вариант будет, когда высота цилиндра равна его диаметру. То есть h = 2r.

Таким образом, оптимальные размеры цилиндрического бака будут следующими:

Диаметр (D) = 2r = 2 * (3V / (4π))^(1/3),

Высота (h) = 2r = 2 * (3V / (4π))^(1/3).