Question

На новогодний праздник пришли 99 мстительных детей. В гардеробе каждый из них обругал кого-то из остальных, причём ни кто не был обруган дважды. Когда Дед Мороз предложил всем загадать по два желания, первым желанием каждого ребенка было получить огромное мороженое, а вторым - чтобы его обидчик не получил мороженое. Докажите, что у кого-то из детей сбудется ровно одно из загаданных желаний.

Answer 1

Ответ:

Составим из детей "цепочки": пусть ребенок А обругал ребенка В, ребенок В обругал ребенка С и так далее... В конце концов нам попадется ребенок, который обругал ребенка А, и мы получим "цикл".

Рассмотрим все такие циклы, в одном из них нечетное число детей. (Так как всего детей 99, то есть нечетное число). А тогда в таком цикле есть либо два соседних ребенка, которые оба получили мороженое, либо два соседних, которые оба не получили, так как дети не могут чередоваться. У второго из этих двух детей (которого обругал первый) действительно сбылось ровно одно из двух его желаний.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Предположим, что ни у кого из детей не сбудется ровно одно из загаданных желаний. Это означает, что каждый ребенок получит и мороженое, и желание, чтобы его обидчик не получил мороженое.

Таким образом, каждый ребенок должен получить мороженое и желание, чтобы его обидчик не получил мороженое. Но у каждого ребенка есть обидчик, и, следовательно, каждый ребенок должен получить два разных желания.

Так как в гардеробе обругали всех детей, а всего детей 99, то каждый ребенок должен обругать 98 других детей. Но каждый ребенок получает только два желания, а не 98. Противоречие.

Значит, предположение неверно, и у кого-то из детей сбудется ровно одно из загаданных желаний.