Question

В подвал норы Бильбо вела лестница из 11 ступеней. Бильбо любил спускаться по этой лестнице разными способами. За один шаг он мог спуститься на одну, две или три ступеньки. Например, он мог спуститься, сделав 11 маленьких шагов (по одной ступеньке) или 5 средних (по две ступеньки) и один маленький или сначала маленький, а потом 5 средних. Сосчитайте общее число различных способов, которыми Бильбо может спуститься по своей лестнице.

Answer 1

1) 8 маленьких шагов (1 способ)
2) 6 маленьких шагов и 1 большой шаг (Перестановка из 7-ми элементов)
3) 4 маленьких шага и 2 больших шага (Перестановка из 6-ти элементов)
4) 2 маленьких шага и 3 больших шага (Перестановка их 5-ти элементов)
5) 4 больших шага (1 способ)
 1+7!+6!+5!+1=2+5040+720+120=5882(способа)

Answer 2

Calculating the Number of Ways Bilbo Can Descend the Stairs

Bilbo can descend the stairs in various ways, taking either one, two, or three steps at a time. The total number of different ways he can do this can be calculated using dynamic programming.

Let's denote the number of ways to reach the i-th step as dp[i]. Then, the number of ways to reach the i-th step can be calculated using the following formula:

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

This is because Bilbo can reach the i-th step by taking either one step from the (i-1)-th step, two steps from the (i-2)-th step, or three steps from the (i-3)-th step.

To find the total number of different ways Bilbo can descend the stairs, we need to calculate dp[11], as there are 11 steps in the staircase.

Let's calculate this using dynamic programming:

dp[0] = 1 (Base case: There is one way to stand at the starting point)

dp = 1 (Bilbo can take one step to reach the first step)

dp[2] = 2 (Bilbo can take either one step twice or two steps at once)

Now, we can calculate dp[i] for i = 3 to 11 using the formula mentioned above.

Calculating dp[i] for i = 3 to 11

``` dp[3] = dp[2] + dp[1] + dp[0] = 2 + 1 + 1 = 4 dp[4] = dp[3] + dp[2] + dp[1] = 4 + 2 + 1 = 7 dp[5] = dp[4] + dp[3] + dp[2] = 7 + 4 + 2 = 13 dp[6] = dp[5] + dp[4] + dp[3] = 13 + 7 + 4 = 24 dp[7] = dp[6] + dp[5] + dp[4] = 24 + 13 + 7 = 44 dp[8] = dp[7] + dp[6] + dp[5] = 44 + 24 + 13 = 81 dp[9] = dp[8] + dp[7] + dp[6] = 81 + 44 + 24 = 149 dp[10] = dp[9] + dp[8] + dp[7] = 149 + 81 + 44 = 274 dp[11] = dp[10] + dp[9] + dp[8] = 274 + 149 + 81 = 504 ```

Therefore, there are 504 different ways Bilbo can descend the 11-step staircase.