Question

Числитель обыкновенной дроби на 6 меньше её знаменателя. Если числитель увеличить на 17, а знаменатель уменьшить на 1, то получим число, обратно данной дроби. Найди данную дробь.

Answer 1

Ответ:

5/11

Пошаговое объяснение:

Пусть х - числитель, тогда (х + 6) - знаменатель

По условию задачи

(х + 17)/(x + 5) = (x + 6)/x

Решаем как пропорцию:

х(х + 17) = (х + 5)(х + 6)

х² + 17х = х² + 11х + 30

6х = 30

х = 5 - числитель

х + 6 = 11 - знаменатель

Answer 2

Давайте обозначим числитель обыкновенной дроби как \(x\), а знаменатель как \(y\). Исходя из условия, у нас есть два уравнения:

1. \(\frac{x}{y} = \frac{y - 6}{y}\) 2. После увеличения числителя на 17 и уменьшения знаменателя на 1, мы получаем обратную дробь: \(\frac{x + 17}{y - 1} = \frac{y}{x}\)

Давайте рассмотрим первое уравнение и упростим его:

\(\frac{x}{y} = \frac{y - 6}{y}\)

Мы видим, что \(y\) присутствует в обоих дробях, поэтому мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на \(y\) (предполагая, что \(y\) не равно нулю):

\(x = y - 6\)

Теперь мы имеем значение \(x\) в зависимости от \(y\). Теперь давайте рассмотрим второе уравнение:

\(\frac{x + 17}{y - 1} = \frac{y}{x}\)

Мы можем умножить обе стороны на \(x(y-1)\) для устранения дробей:

\((x + 17)x = y(y - 1)\)

Раскроем скобки:

\(x^2 + 17x = y^2 - y\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(x = y - 6\) 2. \(x^2 + 17x = y^2 - y\)

Мы можем решить эту систему, подставив выражение \(x\) из первого уравнения во второе:

\((y - 6)^2 + 17(y - 6) = y^2 - y\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(y^2 - 12y + 36 + 17y - 102 = y^2 - y\)

Теперь у нас есть уравнение только с переменной \(y\):

\(-12y + 36 + 17y - 102 = -y\)

Сгруппируем переменные \(y\) на одной стороне:

\(-12y + 17y - y = 102 - 36\)

Упростим:

\(4y = 66\)

Теперь найдем \(y\):

\(y = \frac{66}{4} = 16.5\)

Теперь, когда у нас есть значение \(y\), мы можем найти \(x\) с помощью первого уравнения:

\(x = y - 6 = 16.5 - 6 = 10.5\)

Итак, данная дробь равна \(x/y = 10.5/16.5\), которую можно упростить, деля числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель:

\(x/y = \frac{10.5}{16.5} = \frac{21}{33} = \frac{7}{11}\)

Таким образом, данная дробь равна \(\frac{7}{11}\).