Question

Исследовать на монотонность и экстремумы.. срочно! 1) у= одна третья х в кубе — одна вторая х в квадрате + 6 2) у= две третьих х в кубе + 4 х в квадрате — 10

Answer 1

f(x) = x³+6x²-15x + 8

f ' (x) = 3x² + 12x - 15

найдем где функция возрастает:

3x² + 12x - 15 > 0

разделим на 3

x² + 4x - 5 > 0

разложим на множители:

(x+5)(x-1) > 0

функция возрастает на промежутке: (-бесконечность; - 5) U (1;+бесконечность)

(x+5)(x-1) < 0

функция убывает на промежутке: (-5;1)

так для примечания:

экстремумы функции: максимум: (-5)

минимум: (1)

Answer 2

Для исследования на монотонность и экстремумы уравнений, мы должны проанализировать их производные и исследовать их поведение на различных интервалах.

Уравнение 1: у = (1/3)х^3 - (1/2)х^2 + 6

Чтобы найти производную этого уравнения, возьмем производную каждого члена по отдельности:

у' = (d/dx)((1/3)х^3) - (d/dx)((1/2)х^2) + (d/dx)(6)

у' = х^2 - х

Теперь мы можем исследовать поведение производной на различных интервалах.

1. Интервалы возрастания и убывания: Для этого уравнения производная убывает на интервале (-бесконечность, 0) и возрастает на интервале (0, +бесконечность).

2. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы, мы должны найти точки, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

х^2 - х = 0

Факторизуем:

х(х - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки, где производная равна нулю: х = 0 и х = 1.

Чтобы определить тип экстремума в этих точках, мы можем проанализировать знаки производной вокруг каждой точки. - Для х < 0 производная отрицательна, поэтому у убывает. - Для 0 < х < 1 производная положительна, поэтому у возрастает. - Для х > 1 производная снова отрицательна, поэтому у убывает.

Таким образом, у нас есть локальный максимум в точке (1, у(1)) и локальный минимум в точке (0, у(0)).

Уравнение 2: у = (2/3)х^3 + 4х^2 - 10

Аналогично, найдем производную этого уравнения:

у' = (d/dx)((2/3)х^3) + (d/dx)(4х^2) - (d/dx)(10)

у' = (2/3)х^2 + 8х

Исследуем поведение производной на различных интервалах:

1. Интервалы возрастания и убывания: Для этого уравнения производная возрастает на всем интервале (-бесконечность, +бесконечность).

2. Экстремумы: Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

(2/3)х^2 + 8х = 0

Факторизуем:

х(х + 12) = 0

Получаем две точки, где производная равна нулю: х = 0 и х = -12.

Анализируя знаки производной вокруг каждой точки, мы видим, что производная всегда положительна, поэтому у нашего уравнения нет экстремумов.

Итак, у уравнения 1 есть локальный максимум в точке (1, у(1)) и локальный минимум в точке (0, у(0)), а у уравнения 2 нет экстремумов.