Question

В трапеции ABCD основания AD и BC относятся как 3:2, а сумма углов при основании AD равна 90. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3.

Answer 1

Вот решение..P.s.(Извиняюсь за качество сьемки)...Если есть вопросы по решению,пишите в коммент

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать геометрические свойства трапеции и окружности. Давайте разберемся по шагам:

1. Из условия известно, что основания AD и BC трапеции относятся как 3:2. Пусть длина AD равна 3x, а длина BC равна 2x. Теперь мы знаем, что AB = 3.

2. Сумма углов при основании AD равна 90 градусов. Это означает, что угол DAB + угол ABC = 90 градусов. Давайте обозначим угол DAB как α и угол ABC как β.

3. Так как угол DAB и угол ABC - это два смежных угла, и они дополняют друг друга до 90 градусов, то α + β = 90 градусов.

4. Теперь мы можем использовать тригонометричкие отношения в этом треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник DAB. Мы знаем, что AB = 3, и мы хотим найти радиус окружности, проходящей через точки A и B. Пусть R будет радиусом этой окружности. Тогда мы можем использовать тригонометричкое соотношение:

sin(α) = AB / R

sin(α) = 3 / R

5. Теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что угол ABC равен β, и мы хотим найти радиус окружности, касающейся прямой CD. Обозначим этот радиус как r.

6. Так как прямоугольник ABC прямоугольный, то:

sin(β) = BC / r

sin(β) = 2x / r

7. Мы знаем, что α + β = 90 градусов. Теперь мы можем использовать это уравнение для нахождения sin(β):

sin(β) = sin(90 - α)

8. Теперь мы можем связать sin(α) и sin(β):

sin(90 - α) = sin(α)

9. Подставляем выражение для sin(α) из шага 4:

sin(90 - α) = 3 / R

10. Из шага 6 знаем, что sin(β) = 2x / r:

2x / r = 3 / R

11. Теперь у нас есть два уравнения, связывающих R и r. Давайте объединим их:

sin(90 - α) = 3 / R 2x / r = 3 / R

12. Теперь мы можем решить систему уравнений. Сначала найдем sin(90 - α):

sin(90 - α) = cos(α)

13. Подставим это выражение во второе уравнение:

2x / r = 3 / cos(α)

14. Теперь мы можем найти cos(α) из первого уравнения:

cos(α) = 3 / R

15. Подставляем это значение обратно во второе уравнение:

2x / r = 3 / (3 / R)

2x / r = R

16. Теперь мы можем выразить R:

R = 2x * r

17. Мы также знаем, что AB = 3. Мы ранее определили, что AB = 3x, поэтому x = 1. Теперь мы можем найти длину AB:

AB = 3x = 3 * 1 = 3

18. Теперь мы можем выразить r:

r = AB / 2 = 3 / 2 = 1.5

Итак, радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен 1.5 единицам.