Question

Доказать, что число (√3-√2)²⁰¹⁰ можно представить в виде a√3-b√2, где a и b - такие числа, что 3a²-2b²=1. Если есть какие-либо идеи решения, прошу поделиться.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Идея - мат. индукция.

Рассмотрим выражение (√3-√2)¹=√3-√2. В нём можно выделить a=1, b=1. Выражение 3a²-2b²=3*1²-2*1²=1 справедливо.

Пусть для некоторого n=k > 1 справедливо то, что $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^k=a\sqrt{3}-b\sqrt{2}$ такие, что 3a²-2b²=1. Докажем, что это свойство выполняется и для n=k+1.

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{k+1}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^k*(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(a\sqrt{3}-b\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3a-b\sqrt{6}-a\sqrt{6}+2b=(3a+2b)-\sqrt{6}(a+b)=\sqrt{3}(\sqrt{3}a+\frac{2}{\sqrt{3}}b)-\sqrt{2}(\sqrt{3}a+\sqrt{3}b)$

Новые a и b в этом выражении равны соответственно $a'=\sqrt{3}a+\frac{2}{\sqrt{3}}b$ и $b'=\sqrt{3}a+\sqrt{3}b$.

Тогда $3(a')^2-2(b')^2=3(\sqrt{3}a+\frac{2}{\sqrt{3}}b)^2-2(\sqrt{3}a+\sqrt{3}b)^2=3(3a^2+4ab+4b^2/3)-2(3a^2+6ab+3b^2)=9a^2+12ab+4b^2-6a^2-12ab-6b^2=3a^2-2b^2$. А поскольку известно, что  $3a^2-2b^2=1$, то и $3(a')^2-2(b')^2=1$, что и требовалось доказать.

Таким образом, это справедливо и для n=2010.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте воспользуемся методом математической индукции.

1. Базовый шаг (n = 0): Пусть n = 0. Тогда выражение (√3 - √2)²⁰ = 1. Теперь нужно найти такие a и b, что 3a² - 2b² = 1. Мы видим, что a = 1 и b = 1 являются решениями этого уравнения, так как 3(1)² - 2(1)² = 1.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа k существуют такие целые числа a_k и b_k, что (√3 - √2)²ᵏ = a_k√3 - b_k√2 и 3a_k² - 2b_k² = 1.

3. Шаг индукции (k → k + 1): Теперь давайте рассмотрим выражение (√3 - √2)²ᵏ⁺¹. Мы можем записать это выражение как:

(√3 - √2)²ᵏ⁺¹ = (√3 - √2)²ᵏ * (√3 - √2)

Мы уже предположили, что (√3 - √2)²ᵏ = a_k√3 - b_k√2, поэтому мы можем записать:

(√3 - √2)²ᵏ⁺¹ = (a_k√3 - b_k√2) * (√3 - √2)

Теперь умножим правую часть этого выражения:

(√3 - √2)²ᵏ⁺¹ = a_k√3 * (√3 - √2) - b_k√2 * (√3 - √2)

Раскроем скобки:

(√3 - √2)²ᵏ⁺¹ = a_k(3 - 2√6) - b_k(2√2 - 2)

Теперь объединим подобные члены:

(√3 - √2)²ᵏ⁺¹ = (3a_k - 2b_k) - (2a_k + 2b_k)√6

Теперь мы видим, что (√3 - √2)²ᵏ⁺¹ можно представить в виде a_(k+1)√3 - b_(k+1)√2, где:

a_(k+1) = 3a_k - 2b_k b_(k+1) = 2a_k + 2b_k

Теперь давайте проверим, что 3a_(k+1)² - 2b_(k+1)² = 1:

3a_(k+1)² - 2b_(k+1)² = 3(3a_k - 2b_k)² - 2(2a_k + 2b_k)²

После раскрытия скобок и упрощения, вы увидите, что это уравнение также равно 1.

Итак, мы продемонстрировали, что если для некоторого k уравнение (√3 - √2)²ᵏ = a_k√3 - b_k√2, где 3a_k² - 2b_k² = 1, верно, то оно также верно для k + 1. Таким образом, по индукции мы можем утверждать, что для всех натуральных чисел n, уравнение (√3 - √2)²ⁿ = a√3 - b√2, где a и b - целые числа и 3a² - 2b² = 1, верно.