Question

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Необходимо : а) составить закон распределения отказавших за время Т элементов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

Answer 1

Ваше устройство состоит из 1000 элементов, каждый из которых может отказать с вероятностью 0,002. Следовательно, количество отказавших элементов за время T является случайной величиной, которая распределена по закону биномиального распределения с параметрами n = 1000 и p = 0,002.
Математическое ожидание этой случайной величины равно np = 1000 * 0,002 = 2. Дисперсия равна np(1-p) = 1000 * 0,002 * (1 - 0,002) = 1,996.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением, так как каждый элемент может либо отказать (с вероятностью p), либо не отказать (с вероятностью 1 - p) независимо друг от друга. а) Закон распределения отказавших элементов: Пусть X - количество элементов, которые откажут за время T. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n (число элементов) и p (вероятность отказа одного элемента). В данном случае n = 1000 и p = 0.002. Закон распределения можно записать следующим образом: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент (количество способов выбрать k элементов из n), p^k - вероятность того, что k элементов откажут, и (1 - p)^(n - k) - вероятность того, что оставшиеся (n - k) элементов не откажут. б) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X в биномиальном распределении вычисляется по формуле: E(X) = n * p. В данном случае: E(X) = 1000 * 0.002 = 2. Дисперсия случайной величины X в биномиальном распределении вычисляется по формуле: Var(X) = n * p * (1 - p). В данном случае: Var(X) = 1000 * 0.002 * (1 - 0.002) = 1.996. Итак, ответы на задачу: а) Закон распределения отказавших за время T элементов описывается биномиальным распределением с параметрами n = 1000 и p = 0.002. б) Математическое ожидание (среднее значение) этой случайной величины равно 2, а дисперсия равна 1.996.