Question

Пятизначное число a начинается на 4 и оканчивается на 7. Пятизначное число b начинается на 9 и оканчивается на 3. Известно, что НОД(a, b) пятизначный. Докажите, что 2b − a делится на 11

Answer 1

Ответ:

4793:11

Пошаговое объяснение:

разделите разделите числа 4793:11 и получится ответ

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 2b - a делится на 11, мы можем воспользоваться свойством делимости на 11, которое состоит в том, что разница между суммой цифр, стоящих на нечетных позициях, и суммой цифр, стоящих на четных позициях, делится на 11. Давайте рассмотрим число a. Мы знаем, что пятизначное число a начинается на 4 и оканчивается на 7. Другими словами, a имеет вид abcde, где a = 4, e = 7, а b, c и d - любые цифры. По аналогии, рассмотрим число b. Мы знаем, что пятизначное число b начинается на 9 и оканчивается на 3. То есть b имеет вид fghij, где f = 9, j = 3, а g, h и i - любые цифры. Теперь мы можем записать a и b в виде суммы их разрядов: a = 40000 + 1000c + 100b + 10d + 7 b = 90000 + 1000g + 100h + 10i + 3 Теперь давайте выразим 2b - a и проверим, делится ли оно на 11: 2b - a = 2(90000 + 1000g + 100h + 10i + 3) - (40000 + 1000c + 100b + 10d + 7) = 180000 + 2000g + 200h + 20i + 6 - 40000 - 1000c - 100b - 10d - 7 = 140000 + 2000g + 200h + 20i - 1000c - 100b - 10d - 1 Теперь давайте посмотрим на разность сумм цифр на нечетных и четных позициях: Сумма цифр на нечетных позициях = 2 + 2g + 2h + 2i - c - b - d - 1 Сумма цифр на четных позициях = 4 + g + h + i - 4 - b - d - 7 Вычитая сумму цифр на четных позициях из суммы цифр на нечетных позициях, получаем: (2 + 2g + 2h + 2i - c - b - d - 1) - (4 + g + h + i - 4 - b - d - 7) = 2 + 2g + 2h + 2i - c - b - d - 1 - 4 - g - h - i + 4 + b + d + 7 = 2 + g + h + i - c Заметим, что полученная разность сумм цифр является значением, которое мы получили в выражении 2b - a. То есть: 2 + g + h + i - c = 140000 + 2000g + 200h + 20i - 1000c - 100b - 10d - 1 Упрощая это выражение, получаем: 1 + g + h + i - c = 140000 + 2000g + 200h + 20i - 1000c - 100b - 10d Но мы знаем, что НОД(a, b) является пятизначным числом. Поскольку a и b имеют пятизначный вид, то и их НОД будет иметь пятизначный вид. Это означает, что значение 1 + g + h + i - c также является пятизначным числом. Теперь мы можем заключить, что 2b - a делится на 11, поскольку разность сумм цифр на нечетных и четных позициях, равная 1 + g + h + i - c, является пятизначным числом. Таким образом, мы доказали, что 2b - a делится на 11.