Question

Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M0=(3, 2, 1) и через заданную прямую:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В общем виде плоскость задается как

$Ax+By+Cz+1=0$

Из уравнения прямой получаем, для нашей прямой

$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\z=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$

При подстановке в уравнение плоскости должно получаться тождество

$Ax+B(\frac{2}{3}x+\frac{5}{3})+C(\frac{4}{3}x+\frac{1}{3})+1=0$

То есть это уравнение должно быть вида 0x=0. Получаем

$A+\frac{2}{3}B+\frac{4}{3}C=0$

(коэффициент при x)

$\frac{5}{3}B+\frac{1}{3}C+1=0$

(свободный член)

Кроме того, плоскость должна проходить через точку M0:

$3A+2B+C+1=0$

Получаем систему линейных уравнений

$A+\frac{2}{3}B+\frac{4}{3}C=0\\\frac{5}{3}B+\frac{1}{3}C+1=0\\3A+2B+C+1=0$

Решение которой:

$A=0, B=-\frac{2}{3}, C=\frac{1}{3}$

Так плоскость задается уравнением

$-\frac{2y}{3}+\frac{z}{3}+1=0$

Или (что то же самое):

$-2y+z+3=0$

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости α, проходящей через заданную точку M0 и прямую, нам понадобятся нормальный вектор плоскости и координаты точки. ### Нахождение нормального вектора плоскости Для того чтобы найти нормальный вектор плоскости, мы можем использовать векторное произведение двух направляющих векторов прямой. Для заданной прямой, нам нужно знать ее направляющий вектор. Предположим, что у нас есть прямая, заданная вектором направления d = (a, b, c). Тогда ее направляющий вектор будет равен d = . ### Нахождение уравнения плоскости Теперь, когда у нас есть нормальный вектор и точка, через которую проходит плоскость, мы можем записать уравнение плоскости в общей форме Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты плоскости. Учитывая, что нормальный вектор плоскости равен N = , а точка M0 имеет координаты (x0, y0, z0), мы можем записать уравнение плоскости следующим образом: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Подставляя значения точки M0, получим: A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0 Таким образом, уравнение плоскости α, проходящей через точку M0 и заданную прямую, имеет вид A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 1) = 0, где A, B и C - это коэффициенты плоскости, которые можно найти с помощью векторного произведения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. **Примечание**: Для полного решения задачи необходимо знать вектор направления прямой. Пожалуйста, предоставьте дополнительные данные, чтобы я мог проиллюстрировать ответ на ваш вопрос более точно.