Question

3*2^√x + 2^(3-√x) = 25 Как решить такое? Прошу помочь!

Answer 1

$3\cdot 2^{\sqrt{x}}+2^{3-\sqrt{x}}=25\; ,\; \; ODZ:\; \; x\geq 0\\\\Zamena:\; \; t=\sqrt{x}\geq 0\; ,\; \; 3\cdot 2^{t}+2^{3-t}=25\\\\3\cdot 2^{t}+\frac{2^3}{2^{t}}-25=0\\\\\frac{3\cdot 2^{2t}-25\cdot 2^{t}+2^3}{2^{t}}=0\; \to \; \; 3\cdot (2^{t})^2-25\cdot 2^{t}+8=0\\\\Zamena:\; \; z=2^{t}>0\; ,\; \; 3z^2-25z+8=0\; ,\; \; D=529=23^2\; ,\\\\z_1=\frac{25-23}{6}=\frac{1}{3}\; ,\; z_2=\frac{25+23}{6}=8$

$Obratnaya\; zamena:\; \; a)\; \; 2^{\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\; \to \; \sqrt{x}=log_2\frac{1}{3}\; ,\\\\\sqrt{x}=-log_23\; ,\; \; x=log_2^23\\\\b)\; \; 2^{\sqrt{x}}=8\; \to \; \; 2^{\sqrt{x}}=2^3\; ,\; \; \sqrt{x}=3\; ,\; x=9\\\\Otvet:\; \; x=log_2^23\; ,\; x=9\; .$

Answer 2

Чтобы решить уравнение 3*2^√x + 2^(3-√x) = 25, следует применить несколько шагов.

Шаг 1: Вводим замену. Пусть y = 2^√x.

Тогда уравнение преобразуется следующим образом:
3y + 2^(3-√x) = 25.

Шаг 2: Выражаем второй член уравнения через y с помощью первой замены.

Имеем: 2^(3-√x) = 2^3 / 2^√x = 8 / (2^√x) = 8 / y.

Тогда уравнение преобразуется следующим образом:
3y + 8 / y = 25.

Шаг 3: Умножаем уравнение на y, чтобы избавиться от знаменателя.

Таким образом, получаем квадратное уравнение:
3y^2 + 8 = 25y.

Шаг 4: Приводим уравнение к стандартному виду и решаем квадратное уравнение.

3y^2 - 25y + 8 = 0.

Можно решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или применением квадратного корня.

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение и находим значения y.

(3y - 1)(y - 8) = 0.

Уравнение будет иметь два решения:
1) 3y - 1 = 0, откуда y = 1/3.
2) y - 8 = 0, откуда y = 8.

Итак, у нас есть два возможных значения y.

Шаг 6: Подставляем найденные значения y обратно в первоначальную замену, чтобы найти значения x.

Для y = 1/3:
y = 2^√x,
1/3 = 2^√x.

Если возведем обе части в квадрат, получим:
(1/3)^2 = (2^√x)^2,
1/9 = 2^2√x,
1/9 = 4^√x.

Таким образом, √x = 1/2.

Если возведем обе части в квадрат, получим:
x = (1/2)^2,
x = 1/4.

Для y = 8:
y = 2^√x,
8 = 2^√x.

Если возведем обе части в квадрат, получим:
8^2 = (2^√x)^2,
64 = 2^2√x,
64 = 4^√x.

Таким образом, √x = 2.

Если возведем обе части в квадрат, получим:
x = 2^2,
x = 4.

Итак, решением уравнения 3*2^√x + 2^(3-√x) = 25 являются значения x = 1/4 и x = 4.