Question

Решите неравенство 1. Cos^2 4x–sin^2 4x>корень 2/2 2. Tg(p/6+x)=–корень 3/3

Answer 1

1. Cos² 4x–sin² 4x>√ 2/2
cos8x>√2/2
-p/4+2pk<8x<p/4+2pk
-p/32+pk/4<x<p/32+pk/4
2. Tg(p/6+x)=–√ 3/3
p/6+x=-arctg√3/3+pk
x=-p/6-p/6+pk
x=-p/3+pk

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по очереди.

1. Решение неравенства `cos^2(4x) - sin^2(4x) > √2/2`

Начнем с использования тригонометрических тождеств для переписывания выражения `cos^2(4x) - sin^2(4x)`:

`cos^2(4x) - sin^2(4x) = cos(2 * 2x)^2 - sin(2 * 2x)^2`

С помощью формулы двойного угла, мы можем переписать это выражение следующим образом:

`cos^2(4x) - sin^2(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)`

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания `cos^2(2x)` и `sin^2(2x)`:

`cos^2(2x) - sin^2(2x) = (1 + cos(4x))/2 - (1 - cos(4x))/2`

Упрощаем это выражение:

`(1 + cos(4x))/2 - (1 - cos(4x))/2 = cos(4x)/2 + cos(4x)/2 = cos(4x)`

Теперь неравенство становится:

`cos(4x) > √2/2`

Для решения этого неравенства возьмем арккосинус от обеих сторон:

`arccos(cos(4x)) > arccos(√2/2)`

Так как `arccos` является монотонно убывающей функцией, мы можем переписать неравенство следующим образом:

`4x > arccos(√2/2)`

Решим это неравенство относительно `x`:

`x > arccos(√2/2) / 4`

Таким образом, решением данного неравенства является `x > arccos(√2/2) / 4`.

2. Решение уравнения `tg(p/6 + x) = -√3/3`

Перепишем уравнение в терминах синуса и косинуса:

`sin(p/6 + x) / cos(p/6 + x) = -√3/3`

Теперь применим тригонометрическую формулу тангенса:

`(sin(p/6)cos(x) + cos(p/6)sin(x)) / (cos(p/6)cos(x) - sin(p/6)sin(x)) = -√3/3`

Раскроем скобки:

`(1/2 * cos(x) + √3/2 * sin(x)) / (√3/2 * cos(x) - 1/2 * sin(x)) = -√3/3`

Умножим обе части уравнения на `2`:

`cos(x) + √3 * sin(x) = -2√3/3 * cos(x) + sin(x)`

Перенесем все члены с `cos(x)` на одну сторону и все члены с `sin(x)` на другую сторону:

`cos(x) + 2√3/3 * cos(x) = -sin(x) - √3 * sin(x)`

Упростим:

`cos(x) * (1 + 2√3/3) = -sin(x) * (1 + √3)`

Разделим обе части уравнения на `(1 + 2√3/3)`:

`cos(x) = -sin(x) * (1 + √3) / (1 + 2√3/3)`

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу тангенса, чтобы переписать это уравнение в терминах тангенса:

`cos(x) = -sin(x) * (1 + √3) / (1 + 2√3/3)`

`cos(x) / sin(x) = -1 - √3`

`cot(x) = -1 - √3`

Таким образом, решением данного уравнения является `x = cot^(-1)(-1 - √3)`.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.