Question

Решите пожалуста dy/dx+xy=x

Answer 1

Dy/dx=x(1-y)
dy/(1-y)=xdx
-ln|1-y|=x^2/2
ln|1-y|=-x^2/2

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение dy/dx + xy = x. Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод интегрирующих множителей. Для этого, заметим, что данное уравнение является уравнением вида dy/dx + P(x)y = Q(x), где P(x)=x и Q(x)=x. Найдем интегрирующий множитель μ(x), который удовлетворяет условию μ(x)P(x) = dμ(x)/dx. В данном случае, у нас P(x)=x, поэтому μ(x)dx = dμ(x). Интегрируя обе части данного уравнения, получим: ∫μ(x)dx = ∫dμ(x) Интегрирование дает: μ(x) = ∫dμ(x) Таким образом, интегрирующий множитель μ(x) равен e^(x^2/2), где e - основание натурального логарифма. Теперь умножим обе части уравнения dy/dx + xy = x на μ(x): e^(x^2/2)dy/dx + xye^(x^2/2) = xe^(x^2/2) Получим: (d/dx)e^(x^2/2)y = xe^(x^2/2) Теперь проинтегрируем обе части данного уравнения: ∫(d/dx)e^(x^2/2)y dx = ∫xe^(x^2/2) dx Интегрирование дает: e^(x^2/2)y = ∫xe^(x^2/2) dx Для решения правой части данного уравнения, проведем замену переменных u = x^2/2. Тогда du = x dx. Поэтому, ∫xe^(x^2/2) dx = ∫e^u du = e^u + C = e^(x^2/2) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования. Таким образом, мы получаем: e^(x^2/2)y = e^(x^2/2) + C Делим обе части уравнения на e^(x^2/2): y = 1 + Ce^(-x^2/2), где С - произвольная постоянная. Таким образом, решение данного дифференциального уравнения будет y = 1 + Ce^(-x^2/2), где C - произвольная постоянная.