Question

Из числа вычли сумму его цифр и получили 2007. Каким могло быть исходное число (найти все варианты или обосновать, почему их нет)?

Answer 1

Пусть число равно abcd=1000a+100b+10c+d . Тогда 1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)=999a+99b+9c=9(111a+11b+c) . Получим уравнение:9(111a+11b+c)=2007 => 111a+11b+c=223 . Перебором убеждаемся, что a>1 и a<3 , то есть, a=2 . Тогда 11b+c=1 . Поскольку b и c – цифры, то b=0 и c=1 . Отметим, что d может быть любой цифрой.

Ответ: Любое натуральное число от 2010 до 2019

Answer 2

Пусть исходное число состоит из n цифр.

Тогда мы можем записать это число в виде a = 10^(n-1) * a_(n-1) + 10^(n-2) * a_(n-2) + ... + 10 * a_1 + a_0, где a_0, a_1, ..., a_(n-1) - цифры числа a.

Сумма цифр числа a равна S = a_0 + a_1 + ... + a_(n-1).

По условию задачи, a - S = 2007.

Заметим, что 0 <= S <= 9 * n (т.к. каждая цифра не превышает 9).

Рассмотрим значение S:

1) Если S = 0, то a = 2007. Очевидно, что это единственный вариант. 2) Если S = 1, то a должно быть равно 2008. Но число 2008 состоит из 4 цифр, что противоречит условию задачи. Значит, вариантов с S = 1 нет. 3) Если S = 2, то a = 2009. Опять же, число 2009 состоит из 4 цифр, поэтому вариантов с S = 2 нет. 4) Если S = 3, то a = 2010. Заметим, что число 2010 состоит из 4 цифр, однако в этом случае число 2010 - S = 2007, что удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a = 2010 - единственный вариант с S = 3. 5) Если S >= 4, то для любого числа S число a будет содержать больше чем n цифр, что противоречит условию задачи.

Итак, единственным возможным значением исходного числа является 2010.