Question

Знайдіть найбільше значення функції f(x)=12x-x³ на Вiдрiзку [0;3]​

Answer 1

f(x)=12x-x³

f’(x) = 12 - 3x² це похідна твоеї функції

12 - 3x² = 0 (прирівняли до нуля та розвьязуемо)

-3x² + 12 = 0

x² - 4 = 0

x = +-2

Оскільки ми шукаємо максимум то беремо тільки додатне значення

x = 2

f(0) = 0

f(2) = 16

f(3) = 9

Отже, найбільше значення дорівнює 16

Answer 2

Для знаходження найбільшого значення функції f(x) = 12x - x³ на відрізку [0;3], спочатку потрібно знайти критичні точки функції на цьому відрізку. Критичні точки - це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = d/dx (12x - x³) f'(x) = 12 - 3x²

2. Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння f'(x) = 0: 12 - 3x² = 0

Для знаходження коренів цього рівняння, можна використовувати квадратичну формулу або факторизацію. Розглянемо факторизацію:

3x² = 12 x² = 4 x = ±2

Отже, ми маємо дві критичні точки: x = -2 та x = 2.

3. Тепер перевіримо значення функції f(x) на кінцях відрізку [0;3] та в обчислених критичних точках.

f(0) = 12*0 - 0³ = 0 f(3) = 12*3 - 3³ = 36 - 27 = 9 f(-2) = 12*(-2) - (-2)³ = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16 f(2) = 12*2 - 2³ = 24 - 8 = 16

Отже, ми знаємо, що f(0) = 0, f(3) = 9, f(-2) = -16 і f(2) = 16.

4. Тепер порівняємо ці значення, щоб знайти найбільше:

Найбільше значення на відрізку [0;3] - це 16, і воно досягається при x = 2.

Отже, найбільше значення функції f(x) = 12x - x³ на відрізку [0;3] дорівнює 16 і досягається при x = 2.