Question

Водопроводчик Вася поздно вечером возвращается домой. У него в руках связка из пяти ключей, причем только один подходит к дверям квартиры. По причинам, о которых можно только догадываться, Вася пробует ключи наугад так, что при каждой попытке любой ключ, включая нужный, выбирается с одинаковой вероятностью. За этим захватывающим зрелищем через замочную скважину дверей соседней квартиры внимательно следят Иван Кузьмич и Пелагея Марковна. Иван Кузьмич готов биться об заклад, что Васька и с третей попытки в дом не попадет. Сердобольная же Пелагея Марковна утверждает, что, по крайней мере, на третий раз дверь поддастся. У кого больше шансов победить в споре?

Answer 1

Посмотрим, каков шанс того, что за три попытки Вася в дом не попадёт:

4/5 * 3/4 * 2/3 = 2/5

Значит, шанс того, что победит Иван Кузьмич, равен 2/5, а шанс победы Пелагеи Макаровны равен 3/5.

Ответ: у Пелагеи Макаровны.

Answer 2

Давайте рассмотрим вероятность успеха Васи в его попытках.

Пусть событие A1 - это событие, что Вася сразу откроет дверь первым ключом. Вероятность этого события равна 1/5.

Событие A2 - это событие, что Вася не откроет дверь первым ключом, но откроет ее вторым ключом. Вероятность этого события равна (4/5) * (1/4) = 1/5. Здесь 4/5 - вероятность того, что первая попытка не увенчалась успехом, и 1/4 - вероятность выбора правильного ключа во второй попытке.

Аналогично, событие A3 - это событие, что Вася не откроет дверь первым и вторым ключом, но откроет ее третьим ключом. Вероятность этого события равна (4/5) * (3/4) * (1/3) = 1/5.

Событие A4 и A5 можно рассмотреть аналогичным образом.

Теперь мы можем рассмотреть событие B - это событие, что Вася откроет дверь не позже третьей попытки. Вероятность этого события равна сумме вероятностей событий A1, A2 и A3:

P(B) = P(A1) + P(A2) + P(A3) = 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5.

Следовательно, вероятность того, что Вася откроет дверь не позже третьей попытки, равна 3/5. Поэтому Пелагея Марковна права, и шансы Васи открыть дверь не позже третьей попытки выше, чем у Ивана Кузьмича.