Question

Найдите, сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых есть только цифры 1, 2, 7 и 8 и которые делятся на 9. (Цифры в каждом четырёхзначном числе не должны повторяться).

Answer 1

Признак делимости на 9:
число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.
1 + 2 + 7 + 8 = 18 
18 : 9 = 2, значит все четырехзначные числа, состоящие из 1,2,7 и 8, делятся на 9.
Эти числа: 1278; 1287; 1728; 1782; 1827; 1872; 2178; 2187; 2718; 2781; 2817; 2871; 7128; 7182; 7218; 7281; 7812; 7821; 8127; 8172; 8217; 8271; 8712; 8721. 
Всего их 24.

Answer 2

Чтобы найти количество четырёхзначных чисел, в записи которых есть только цифры 1, 2, 7 и 8, которые делятся на 9, мы можем воспользоваться правилом делимости на 9.

Правило делимости на 9 гласит, что число делится на 9, если сумма его цифр также делится на 9. Так как мы ищем четырёхзначные числа, среди которых нет повторяющихся цифр, мы должны выбрать 4 различные цифры из множества {1, 2, 7, 8}, чтобы составить четырёхзначное число, сумма цифр которого делится на 9.

Сумма цифр множества {1, 2, 7, 8} равна 18 (1 + 2 + 7 + 8 = 18). Поэтому, чтобы число было делимо на 9, сумма его цифр также должна быть равна 18.

Теперь мы можем составить четырёхзначные числа, выбирая 4 различные цифры из множества {1, 2, 7, 8}, так чтобы сумма этих цифр равнялась 18.

Мы можем разбить это задание на несколько случаев:

1. Если 1 является одной из цифр, то остальные три цифры должны быть выбраны из {2, 7, 8}. Это можно сделать C(3, 3) = 1 способом. Значит, есть 1 четырёхзначное число, в котором 1 входит, и сумма остальных цифр равна 18.

2. Если 1 не входит в число, то оставшиеся четыре цифры можно выбрать из {2, 7, 8}. Это можно сделать C(3, 4) = 0 способами, так как нельзя выбрать 4 различные цифры из трёх возможных.

Итак, всего существует 1 четырёхзначное число, в записи которого есть только цифры 1, 2, 7 и 8, и которое делится на 9. Это число - 7218.