Question

Знайдіть інтегральну криву диференціального рівняння y'=y/x(дробь) +x^2 якій належить точка М (1; 2).

Answer 1

Ответ:

Дифференциальное уравнение 1 порядка , линейное .              

$\displaystyle \bf y'=\dfrac{y}{x}+x^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y'-\dfrac{y}{x}=x^2$  

Замена:   $\bf y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'$  .

$\displaystyle \bf u'v+uv'-\dfrac{uv}{x}=x^2\ \ ,\ \ \ \ u'v+u\cdot \Big(v'-\dfrac{v}{x}\Big)=x^2\\\\a)\ \ v'-\dfrac{v}{x}=0\ \ ,\ \ \ \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ \ ln|v|=ln|x|\ \ ,\\\\v=x\\\\b)\ \ u'v=x^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{du}{dx}\cdot x=x^2\ \ ,\ \ \ \int du=\int x\, dx\ \ ,\\\\u=\frac{x^2}{2}+C\\\\c)\ \ y=x\cdot \Big(\frac{x^2}{2}+C\Big)$                        

$\bf d)\ \ M(1;2)\ \ \Rightarrow \ \ \ y(1)=2\ \ ,\ \ y(1)=1\cdot \Big(\dfrac{1}{2}+C\Big)\ \ ,\\\\\dfrac{1}{2}+C=2\ \ ,\ \ C=1,5\\\\y(x)\Big|_{M}=x\cdot \Big(\dfrac{x^2}{2}+1,5\Big)$

Answer 2

Для знаходження інтегральної кривої диференціального рівняння y' = y/x + x^2, яка проходить через точку M (1, 2), ми можемо використовувати метод розділення змінних та початкову умову в точці M.

Спочатку розділимо змінні у диференціальному рівнянні:

dy/dx = (y/x) + x^2

dy / (y/x + x^2) = dx

Після цього можемо проінтегрувати обидві сторони. Для спрощення інтеграції, можемо розділити дріб на два окремі інтеграли:

∫(1/y) dy + ∫x dx = ∫dx

Отримаємо:

∫(1/y) dy + ∫x dx = ∫dx

ln|y| + (x^2/2) = x + C

Де C - це стала інтегрування.

Тепер, ми можемо використовувати початкову умову, щоб знайти значення константи C. З точкою M (1, 2) отримуємо:

ln|2| + (1^2/2) = 1 + C

ln(2) + 1/2 = 1 + C

ln(2) - 1/2 = C

Тепер, ми можемо повернутися до нашого виразу для інтегральної кривої:

ln|y| + (x^2/2) = x + ln(2) - 1/2

Це є рівняння інтегральної кривої, яка проходить через точку M (1, 2).