Question

Вычислить площадь фигур ограниченных линиями y=1/x^2,y=x,x=3

Answer 1

Ответ:      10/3 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

Строим графики функций  y=1/x^2;  y=x;  x=3.  (См. скриншот).

Площадь S=∫ₐᵇf(x)dx;

Пределы интегрирования

1/x^2 = x;

x1=a=1; x2=b=3.

∫₁³xdx - ∫₁³(1/x²)dx = 4-2/3= 10/3 =3 1/3 кв.ед.

1)  ∫₁³xdx = 1/2(x²)|₁³ = 1/2(3²-1²) = 1/2(9-1) = 1/2*(8) = 4 кв.ед.

2)  ∫₁³(1/x²)dx=-1/x|₁³=-(1/3 - 1/1) = -(-2/3) = 2/3 кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 1/x^2, y = x и x = 3, нам нужно найти точки их пересечения и определить интеграл для этой области. Сначала найдем точки пересечения:

1. y = 1/x^2 и y = x
2. x = 3

Сначала найдем точки пересечения между линиями y = 1/x^2 и y = x:

1/x^2 = x

Умножим обе стороны на x^2:

1 = x^3

Теперь возьмем кубический корень с обеих сторон:

x = 1

Теперь у нас есть две точки пересечения: (1, 1) и (3, 3).

Теперь мы будем интегрировать по этой области, чтобы найти площадь:

Сначала найдем площадь между y = 1/x^2 и y = x на интервале [1, 3]. Для этого возьмем интеграл разности этих функций:

∫[1, 3] (x - 1/x^2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫[1, 3] (x - 1/x^2) dx = [x^2/2 + 1/x] | [1, 3]

= [(3^2/2 + 1/3) - (1^2/2 + 1/1)]

= [(9/2 + 1/3) - (1/2 + 1)]

= [(27/6 + 2/6) - (3/6 + 6/6)]

= [(29/6) - (9/6)]

= 20/6

= 10/3

Теперь найдем площадь между y = x и x = 3 на интервале [1, 3]. Это треугольник, и его площадь можно найти как:

(1/2) * base * height = (1/2) * (3 - 1) * (3 - 1) = 2

Теперь сложим обе площади вместе:

Площадь фигуры = Площадь между y = 1/x^2 и y = x - Площадь между y = x и x = 3

= (10/3) - 2

= 10/3 - 6/3

= (10 - 6)/3

= 4/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1/x^2, y = x и x = 3, равна 4/3 или 1.33 квадратных единицы.