Question

Помогите пожалуйста!!! В составлении задач на олимпиаду по математике приняли участие 30 студентов пяти курсов. Каждый придумал не менее одной задачи, а всего на олимпиаду было придумано 40 задач. Известно, что каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач, а любые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало ровно по одной задаче? Ответ обоснуйте. Даю 100 балов!!!

Answer 1

Ответ:

26 студентов.

Пошаговое объяснение:

 Выберем пять студентов, по одному с каждого курса. Так как количество придуманных ими задач различно, то этими студентами придумано не менее чем  1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15  задач. Тогда остальные 25 студентов придумали не более чем  40 – 15 = 25  задач. То есть каждый из них придумал ровно по одной задаче, и среди выбранных студентов один придумал одну задачу, следовательно, всего по одной задаче придумали 26 человек.

 Такое действительно возможно. Например, каждый студент придумал столько задач, каков номер его курса, причём с первого курса принимало участие 26 студентов, а с остальных – по одному студенту.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

1. Обозначения: Пусть $x$ - количество студентов с пятого курса, которые придумали ровно одну задачу. Тогда количество студентов с четвертого курса, придумавших одну задачу, будет $2x$ (по условию каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач). Количество студентов с третьего курса, придумавших одну задачу, будет $3x$, и так далее.

2. Уравнение: Мы знаем, что сумма задач, которые придумали студенты каждого курса, равна общему числу задач: $x + 2x + 3x + 4x + 5x = 40$ $15x = 40$ $x = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$

   Однако, количество студентов должно быть целым числом. Это возможно только если каждый курс придумал целое число задач. Таким образом, решение не существует в целых числах.

   Это означает, что условия задачи не могут быть выполнены, и невозможно определить, сколько человек придумало ровно по одной задаче.