Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=х^3- 3х^2 -45 х на отрезке [-2;6]

Answer 1

Ответ:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [-2;6] необходимо найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и концы отрезка, а затем сравнить значения функции в этих точках.

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x^2 - 6x - 45

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

3x^2 - 6x - 45 = 0

x^2 - 2x - 15 = 0

(x - 5)(x + 3) = 0

Таким образом, критические точки функции f(x) на отрезке [-2;6] равны x = 5 и x = -3.

3. Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 45(-2) = -8 + 12 + 90 = 94

f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 45(-3) = -27 + 27 + 135 = 135

f(5) = 5^3 - 3(5)^2 - 45(5) = 125 - 75 - 225 = -175

f(6) = 6^3 - 3(6)^2 - 45(6) = 216 - 108 - 270 = -162

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на отрезке [-2;6] равно 135, а наименьшее значение равно -175.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 45x$ на отрезке $[-2, 6]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, которые находятся внутри данного интервала. Критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

2. Вычислите значение функции в этих критических точках и на концах интервала $[-2, 6]$.

3. Сравните найденные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном интервале.

Шаг 1: Найдем критические точки, вычислив производную функции $f(x)$:

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 45x$

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 45$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x - 45 = 0$

Для упрощения, поделим уравнение на 3:

$x^2 - 2x - 15 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение:

$(x - 5)(x + 3) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 5$ и $x = -3$.

Шаг 2: Теперь вычислим значения функции в этих критических точках и на концах интервала:

• $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 45(-2)$
• $f(6) = 6^3 - 3(6)^2 - 45(6)$
• $f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 45(-3)$
• $f(5) = 5^3 - 3(5)^2 - 45(5)$

Шаг 3: Сравним найденные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции:

• $f(-2) = 26$
• $f(6) = -189$
• $f(-3) = 18$
• $f(5) = -100$

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ на интервале $[-2, 6]$ равно 26 (достигается при $x = -2$), а наименьшее значение равно -189 (достигается при $x = 6$).