Question

Найдите общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. (sin(2x+y)-sin(2x-y))dx=dy/siny

Answer 1

$(sin(2x+y)-sin(2x-y))\, dx=\frac{dy}{siny}\\\\2\cdot sin\frac{2x+y-2x+y}{2}\cdot cos\frac{2x+y+2x-y}{2}\cdot dx=\frac{dy}{siny}\\\\2\cdot siny\cdot cos2x\cdot dx=\frac{dy}{siny}\\\\\int 2\, cos2x\, dx=\int \frac{dy}{sin^2y}\\\\sin2x=-ctgy+C\\\\ctgy=C-sin2x\\\\y=arcctg(C-sin2x)$

Answer 2

Данное уравнение - уравнение с разделяющимися переменными, чтобы  быстро решать диф. уравнения, их надо уметь классифицировать и знать приемы решения.

Алгоритм решения Вашего - привести к уравнению с разделенными переменными, т.е. разогнать переменные по разные стороны.) Удачи.

Answer 3

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения:

$\sin(2x+y) - \sin(2x-y) \, dx = \frac{dy}{\sin y}$

Давайте разделим дифференциальное уравнение на $\sin y$:

$\frac{\sin(2x+y) - \sin(2x-y)}{\sin y} \, dx = dy$

Теперь мы можем воспользоваться заменой переменных. Давайте предположим, что $u = 2x + y$. Тогда $du = 2dx + dy$, или $dy = du - 2dx$. Мы можем использовать это в уравнении:

$\frac{\sin u - \sin(2x - u)}{\sin y} \, dx = du - 2dx$

Теперь сгруппируем члены:

$\frac{\sin u - \sin(2x - u)}{\sin y} \, dx + 2dx = du$

Объединяя dx-члены:

$\left(\frac{\sin u - \sin(2x - u)}{\sin y} + 2\right) \, dx = du$

Теперь давайте рассмотрим функцию $g(u, y) = \frac{\sin u - \sin(2x - u)}{\sin y} + 2$. Если мы найдем такую функцию $g(u, y)$, которая равна производной $du$, то мы сможем найти общее решение. Для этого давайте найдем частную производную $g$ по $u$ и приравняем ее к $1$:

$\frac{\partial g}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\sin u - \sin(2x - u)}{\sin y} + 2\right) = 1$

Мы можем вычислить частные производные:

$\frac{\cos u + \cos(2x - u)}{\sin y} = 1$

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение относительно $u$:

$\cos u + \cos(2x - u) = \sin y$

Давайте теперь решим это уравнение относительно $u$. Затем мы сможем найти $x$ и $y$ в зависимости от $u$. Это нелинейное уравнение и может потребовать численного метода для решения.