Question

Y"-y=x найти общее решение диф.ур-ия,допускающего понижение порядка

Answer 1

Пусть $y'=z$, тогда $y''=z'$. Подставляя в исходное уравнение, получим
$z'-z=x$
То есть, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Применим метод Бернулли
Пусть $z=uv$, тогда $z'=u'v+uv'$. Подставим
$uv'+u'v-uv=x\\ u(-v+v')+u'v=x$
Данный метод состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что $u(v'-v)=0$
$v'-v=0\\ v'=v$
Это есть уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам.
$\dfrac{dv}{dx} =v$
  $\dfrac{dv}{v} =dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \int\limits { \frac{dv}{v} } = \int\limits {} \, dx \\ \ln|v|=x\\ v=e^{x}$
2) Поскольку, как мы предположили, что v' + v = 0, то получим уравнение
$u'v=x$
Зная v, находим функцию u.
$u'e^x=x\\ u'=xe^{-x}$
Интегрируя по частям, получаем
$u=-xe^{-x}-e^{-x}+C$
Найдем решение дифференциального уравнения, выполнив обратную замену.
$z=uv=Ce^x-x-1$
Снова обратная замена
$y'=Ce^{x}-x-1$
Интегрируя последнее уравнение, получаем
$y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2$ - общее решение.


Ответ: $y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2$

Answer 2

Для начала преобразуем данное дифференциальное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Для этого добавим y на обе стороны уравнения:

y' - y = x

Теперь умножим обе стороны на интегрирующий множитель, равный e^(-x):

e^(-x) * y' - e^(-x) * y = x * e^(-x)

Теперь применим метод интегрирующего множителя, чтобы привести уравнение к более простому виду. Умножим обе части уравнения на e^(-x) и проинтегрируем:

∫(e^(-x) * y' - e^(-x) * y) dx = ∫x * e^(-x) dx

Получим:

e^(-x) * y - ∫e^(-x) * y dx = -xe^(-x) - ∫(-e^(-x)) dx

Теперь проинтегрируем правую часть уравнения:

e^(-x) * y - (-e^(-x)) = -xe^(-x) + e^(-x) + C

Упростим уравнение:

e^(-x) * y + e^(-x) = -xe^(-x) + e^(-x) + C e^(-x) * y = -xe^(-x) + C

Теперь найдем общее решение дифференциального уравнения. Для этого выразим y:

y = -x + Ce^(x)

Где С - произвольная постоянная. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка, будет выглядеть следующим образом:

y = -x + Ce^(x)