Question

Даны координаты точек АВС. Требуется записать векторы →AB и →AC в системе орт и найти модуль этих векторов. Найти угол между векторами →AB и →AC, составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярную вектору →AB A(-1; 4; 1) В( 4; 5; 1) С ( 2; 9; 5) Напишите пожалуйста развернуто и на листочке. Пожаааааалуйста!!!!

Answer 1

$A(-1,4,1)\; ,\; \; B(4,5,1)\; ,\; \; C(2,9,5)\\\\1)\; \; \overline {AB}=(4+1,5-4,1-1)=(5,1,0)\; ,\; \; \overline {AB}=5\vec{i}+\vec{j}\\\\ \overline {AC}=(2+1,9-4,5-1)=(3,5,4)\; \; ,\; \; \overline {AC}=3\vec{i}+5\vec{j}+4\vec{k}\\\\2)\; \; cos\varphi =\frac{\overline {AB}\cdot \overline {AC}}{| \overline {AB}|\cdot \ \overline {AC}|}=\frac{5\cdot 3+1\cdot 5+0\cdot 4}{\sqrt{5^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{3^2+5^2+4^2}}=\frac{20}{\sqrt{16}\cdot \sqrt{50}}=\frac{20}{\sqrt{26}\cdot 5\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt{13}}$

$\varphi =arccos\frac{2}{\sqrt{13}}\\\\3)\; \; C(2,9,5)\in \pi \; ,\; \; \overline {AB}\perp \pi \\\\A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_))=0\\\\5\cdot (x-2)+1\cdot (y-9)+0\cdot (z-5)=0\\\\\pi :\; \; 5x+y-19=0$

Answer 2

Давайте начнем с расчета векторов →AB и →AC в системе орт, найдем их модули и затем вычислим угол между ними.

1. Вектор →AB:

   →AB = B - A = (4 - (-1), 5 - 4, 1 - 1) = (5, 1, 0)

2. Вектор →AC:

   →AC = C - A = (2 - (-1), 9 - 4, 5 - 1) = (3, 5, 4)

Теперь найдем модули этих векторов:

1. Модуль вектора →AB:

   |→AB| = √(5² + 1² + 0²) = √(25 + 1 + 0) = √26

2. Модуль вектора →AC:

   |→AC| = √(3² + 5² + 4²) = √(9 + 25 + 16) = √50

Далее, чтобы найти угол между векторами →AB и →AC, можно воспользоваться формулой скалярного произведения векторов и формулой для нахождения угла между векторами:

Угол θ между векторами →AB и →AC:

cos(θ) = (→AB · →AC) / (|→AB| * |→AC|)

Где · обозначает скалярное произведение векторов.

→AB · →AC = (5 * 3) + (1 * 5) + (0 * 4) = 15 + 5 + 0 = 20

cos(θ) = 20 / (√26 * √50)

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(20 / (√26 * √50))

Вычислим значение этого угла, используя калькулятор.

Для уравнения плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной вектору →AB, можно использовать следующую форму:

Ax + By + Cz = D

Где (A, B, C) - координаты вектора →AB, и (x, y, z) - координаты точки C.

Мы уже знаем, что →AB = (5, 1, 0) и C (2, 9, 5).

Теперь, чтобы найти D, подставим координаты точки C в уравнение:

5x + 1y + 0z = D

5*2 + 1*9 + 0*5 = D

10 + 9 + 0 = D

D = 19

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной вектору →AB, будет:

5x + y = 19