Question

Пусть x,y,z – натуральные числа. Известно, что произведение xyz=6266880. На какую максимальную степень двойки может делиться x^2+y^2+z^2?

Answer 1

Ответ:

9

Пошаговое объяснение:

заметим, что 6266880=2^13 * 3^2 *5*17

Можно увидеть, что если за скобки выражения х²+у²+z² вынести старшую степень двойки х²+у²+z²=(2^n)*(x1²+y1²+z1²),

то х1²+y1²+z1² ≠ 0 mod 4 (так как a²≡0; 1 mod 4 и одно из x1², y1², z1² ≠0 mod 4).

Следовательно,х1²+y1²+z1² делится максимум на первую степень двойки.

Тогда максимальная степеньдвойки будет, когда можно вынести у х², y², z² максимальную степень 2 и х1²+y1²+z1² делится на 2.

Для этого степени двойки между x,y,z должны быть распределены почти равномерно. Если присвоить каждому числу x,y,z четвертую степень двойки, то xyz содержит 12-ую степень двойки. Значит, добавим к любой переменной,например, х, еще одну степень двойки. Следовательно, х²+y²+z² кратно 2^9

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем разложить число 6266880 на простые множители и затем использовать их для определения максимальной степени двойки, на которую может делиться сумма квадратов x^2 + y^2 + z^2.

Давайте разложим 6266880 на простые множители:

6266880 = 2^6 * 3 * 5 * 13 * 17

Теперь мы видим, что число 6266880 содержит в себе шестерку в шестой степени, то есть 2^6.

Сумма квадратов x^2 + y^2 + z^2 может быть выражена как x^2 + y^2 + z^2 = (x^2 + y^2) + z^2. Важно отметить, что квадрат любого натурального числа делится на 2 только в том случае, если само это число делится на 2. Поэтому x^2 + y^2 будет делиться на 2 только в том случае, если и x, и y, делются на 2. Таким образом, максимальная степень двойки, на которую может делиться сумма квадратов x^2 + y^2 + z^2, равна 2^6 (из 2^6, которые есть в разложении числа 6266880) умножить на 2^0 (так как z^2 не делится на 2):

Максимальная степень двойки = 2^6 * 2^0 = 2^6 = 64

Итак, максимальная степень двойки, на которую может делиться x^2 + y^2 + z^2, равна 64.