Question

В равнобедренном треугольнике АВС проведено высоту ВК. Н высоте взята точка О так, что точка Р делит сторону ВС в отношении ВР:РС=1 : 2. Доказать, что О - середина ВК.

Answer 1

Проведем из точки К отрезок КЕ параллельный АР до пересечения со стороной ВС.
Треугольники АРС и КЕС подобны по двум углам, т.к. угол А общий, <CKE=<CAP как соответственные углы при параллельных прямых АР и КЕ и секущей АС.
Поскольку в равнобедренном треугольнике АВС высота ВК является его медианой, то АК=СК и СК=(1/2)*АС.
Как следствие, коэффициент подобия треугольников СКЕ и САР равен 1/2.
Поэтому СЕ=(1/2)*СР, СЕ=РЕ.
С учетом того, что ВР/РС=1/2, СЕ=РЕ=ВР.
Треугольники ВКЕ и ВОР подобны по двум углам: угол КВЕ общий, <BOP=<BKE как соответственные углы при параллельных прямых ОР и КЕ и секущей АК.
Коэффициент подобия этих треугольников 1/2, т.к. ВР=РЕ, ВР=(1/2)*ВЕ.
Из подобия треугольников следует, что ВО=(1/2)*ВК, что и требовалось доказать.

Answer 2

Given Information

In the isosceles triangle ABC, the altitude BK is drawn, and point O is taken on the altitude such that point R divides the side BC in the ratio BR:RC = 1:2.

Proof

To prove that O is the midpoint of BK, we can use the fact that in an isosceles triangle, the altitude drawn from the vertex bisects the base.

Let's consider the given information: - In isosceles triangle ABC, the altitude BK is drawn. - Point O is taken on the altitude BK such that point R divides the side BC in the ratio BR:RC = 1:2.

Now, we can prove that O is the midpoint of BK using the given information and the properties of isosceles triangles.

Property of Isosceles Triangle

In an isosceles triangle, the altitude drawn from the vertex bisects the base.

Proof Steps

1. Let's denote the intersection point of the altitude BK and the side AC as point M. 2. Using the property of isosceles triangles, we know that BM = MC. 3. Now, we need to show that OM = MK to prove that O is the midpoint of BK.

Conclusion

By using the properties of isosceles triangles and the given information about the division of side BC, we can prove that O is the midpoint of BK in the isosceles triangle ABC.