Question

Несколько гангстеров сидят за круглым столом и делят награбленное, причём доля каждого составляет ровно половину от суммы долей его соседей справа и слева. Докажите, что всем денег достанется поровну.

Answer 1

Допустим противное и предположим, что не все гангстеры имеют равные доли награбленного. Пусть за столом сидят n гангстеров. Обозначим их доли награбленного соответственно через x₁, x₂,....xₙ и рассадим гангстеров в таком порядке за столом. Тогда найдется минимум один гангстер с наименьшей из всех долей награбленного. Пусть это для определенности гангстер с долей x₁ = x. Так как стол круглый, его соседями справа и слева будут гангстеры x₂ и xₙ соответственно. Тогда по условию x₁ = (x₂ + xₙ)/2 => 2x₁ = x₂ + xₙ, но так как x₁ < x₂ и x₁ < xₙ, равенство возможно только если x₁ = x₂ = xₙ = x. Аналогично для гангстера с долей x₂ имеем x₂ = x₁ = x = (x₁ + x₃)/2 => 2x₁ = x₁ + x₃ => x₁ = x₃ = x. Продолжая эту процедуру доходим до последнего гангстера с долей xₙ, которая тоже оказывается равной x. Таким образом наше изначальное предположение неверно и все гангстеры имеют одинаковый доли x награбленного.

Answer 2

Давайте представим, что у первого гангстера есть $x$ денег. Тогда второй и третий получат по $\frac{x}{2}$ от первого, то есть $\frac{x}{4}$ каждый. Далее, четвёртый и пятый получат по $\frac{x}{2}$ от второго, что равно $\frac{x}{8}$ каждый. И так далее.

Теперь давайте сложим все доли вместе:

$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{8} + \ldots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна:

$S = \frac{x}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{x}{\frac{1}{2}} = 2x$

Таким образом, сумма всех долей равна $2x$, и по условию она также равна общей сумме награбленных денег. Теперь делим эту сумму на количество гангстеров, получаем, что каждый получит $\frac{2x}{n}$, где $n$ - количество гангстеров. Таким образом, деньги распределены поровну.