Question

Допоможіть, будь ласка. Треба Розв'язати диференціальне рівняння: 3ех(степень)tgycos²ydx-(1+ех(степень))dy=0 y=π/4 при Х=0

Answer 1

$3e^x{\rm tg}\, y\cos^2 ydx-(1+e^x)dy=0\\ \\ 3e^x\cdot \dfrac{\sin y}{\cos y}\cdot \cos^2ydx=(1+e^x)dy\\ \\ 3e^x\sin y\cos ydx=(1+e^x)dy\\ \\ \dfrac{3}{2}e^x\sin2ydx=(1+e^x)dy$

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int \dfrac{e^x}{1+e^x}dx=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{dy}{\sin 2y}~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{d(e^x+1)}{e^x+1}=-\dfrac{1}{3}\int d(\ln|{\rm ctg}\, y|)\\ \\ \\ \ln|e^x+1|=-\dfrac{1}{3}\ln|{\rm ctg}\, y|+\ln C\\ \\ \boxed{e^x+1=\dfrac{C}{\sqrt[3]{{\rm ctg}\, y}}}$

Получили общий интеграл

Найдем частный интеграл, подставляя начальные условия

$e^0+1=\dfrac{C}{\sqrt[3]{1}}~~~\Rightarrow~~~ C=2$

Частный интеграл: $e^x+1=\dfrac{2}{\sqrt[3]{{\rm ctg}\, y}}$

Answer 2

Давайте розв'яжемо дане диференціальне рівняння:

$$3e^{x}\tan(y)\cos^{2}(y)dx - (1+e^{x})dy = 0$$

Це диференціальне рівняння не є лінійним, і ми не можемо просто використовувати метод інтегруючого множника для розв'язку. Однак ми можемо спробувати розв'язати його за допомогою методу розділення змінних.

1. Спробуємо виділити частину, що містить dx, на одну сторону рівняння, а частину з dy - на іншу сторону:

$$3e^{x}\tan(y)\cos^{2}(y)dx = (1+e^{x})dy$$

2. Тепер ми поділимо обидві сторони на вирази, що містять dx і dy відповідно:

$$\frac{3e^{x}\tan(y)\cos^{2}(y)}{1+e^{x}}dx = dy$$

3. Далі ми можемо інтегрувати обидві сторони. Ліва сторона має вигляд дробу, і для інтегрування цього виразу ми можемо використовувати підстановку:

Нехай $u = 1 + e^x$, тоді $du = e^xdx$.

Після цієї підстановки ми отримаємо:

$$\int \frac{3e^{x}\tan(y)\cos^{2}(y)}{1+e^{x}}dx = \int \frac{3\tan(y)\cos^{2}(y)}{u}du$$

4. Тепер ми можемо інтегрувати обидві сторони:

$$\int \frac{3\tan(y)\cos^{2}(y)}{u}du = \int dy$$

5. Інтегруйте обидві сторони:

$$3\cos^{2}(y) \int \frac{\tan(y)}{u} du = \int dy$$

6. Інтегруйте ліву сторону за допомогою підстановки $z = \tan(y)$, отримаємо:

$$3\cos^{2}(y) \int \frac{z}{u} dz = \int dy$$

7. Проведемо інтегрування:

$$3\cos^{2}(y) \ln|u| + C_1 = y + C_2$$

де $C_1$ і $C_2$ - стали константи.

8. Тепер підставимо назад $u$:

$$3\cos^{2}(y) \ln|1 + e^{x}| + C_1 = y + C_2$$

9. Зараз давайте використаємо початкову умову, яку ви надали, $y = \frac{\pi}{4}$ при $x = 0$. Підставимо ці значення в рівняння:

$$3\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right) \ln|1 + e^{0}| + C_1 = \frac{\pi}{4} + C_2$$

$$3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \ln|2| + C_1 = \frac{\pi}{4} + C_2$$

$$\frac{3}{4} \ln|2| + C_1 = \frac{\pi}{4} + C_2$$

10. Ми можемо об'єднати константи $C_1$ і $C_2$ в одну константу $C$:

$$\frac{3}{4} \ln|2| + C = \frac{\pi}{4}$$

11. Тепер ми можемо вирішити це рівняння відносно $C$:

$$C = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{4} \ln|2|$$

12. Підставте значення $C$ назад в рівняння:

$$3\cos^{2}(y) \ln|1 + e^{x}| = y + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{4} \ln|2|\right)$$

Це є розв'язком задачі Коші для даного диференціальног