Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданых отрезках y=x^4+2x^2+5 ; [-2;2]

Answer 1

Y`=4x³+4x=4x(x²+1)=0
x=0∈[-2;2]
y(-2)=16+8+5=29 наиб
y(0)=5  наим
y(2)=29 наиб

Answer 2

Для поиска наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке [-2, 2], нам нужно вычислить значения функции y = x^4 + 2x^2 + 5 для каждого значения x на этом отрезке и сравнить их. Давайте выполним этот расчет.

Значения функции на отрезке [-2, 2]

Для начала, вычислим значения функции для каждого значения x на отрезке [-2, 2].

- При x = -2: y = (-2)^4 + 2(-2)^2 + 5 = 16 + 8 + 5 = 29

- При x = -1: y = (-1)^4 + 2(-1)^2 + 5 = 1 + 2 + 5 = 8

- При x = 0: y = 0^4 + 2(0)^2 + 5 = 0 + 0 + 5 = 5

- При x = 1: y = 1^4 + 2(1)^2 + 5 = 1 + 2 + 5 = 8

- При x =Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \(y = x^4 + 2x^2 + 5\) на заданных отрезках \([-2, 2]\), мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

Нахождение критических точек

Для начала найдем критические точки функции \(y = x^4 + 2x^2 + 5\), то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого найдем производную функции:

\[y' = 4x^3 + 4x\]

Затем приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[4x^3 + 4x = 0\]

Нахождение экстремумов

Далее, найдем вторую производную функции, чтобы определить характер критических точек (максимум, минимум или точка перегиба). Возьмем производную от \(y'\):

\[y'' = 12x^2 + 4\]

Подставим найденные критические точки во вторую производную, чтобы определить их характер.

Решение

1. Нахождение критических точек: \[4x^3 + 4x = 0\] \[4x(x^2 + 1) = 0\] \[x = 0, \pm i\]

2. Нахождение экстремумов: Для \(x = 0\): \[y''(0) = 4\] Таким образом, \(x = 0\) является точкой минимума.

Теперь мы можем использовать найденные точки для определения наибольшего и наименьшего значения функции \(y = x^4 + 2x^2 + 5\) на отрезке \([-2, 2]\).

Определение значений функции на границах отрезка

1. Для \(x = -2\): \[y(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^2 + 5 = 21\] 2. Для \(x = 2\): \[y(2) = 2^4 + 2(2)^2 + 5 = 25\]

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-2, 2]\) равно 21, и достигается при \(x = -2\), а наибольшее значение равно 25 и достигается при \(x = 2\).

Это позволяет нам сделать вывод о том, что наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 21, а наибольшее значение равно 25.