Question

Применив свойство степени, решите уравнение 3^2x·2^x=324

Answer 1

$\tt 3^{2x}\cdot2^x=324\\ {(3^2)}^x\cdot2^x=324\\9^x\cdot2^x=324\\(9\cdot2)^x=324\\18^x=18^2\\x=2$

Answer 2

Давайте решим уравнение $3^{2x} \cdot 2^x = 324$ с использованием свойств степеней.

Сначала выразим $324$ как произведение простых множителей:

$324 = 2^2 \cdot 3^4$.

Теперь подставим это в уравнение:

$3^{2x} \cdot 2^x = 2^2 \cdot 3^4.$

Теперь применим свойства степеней. Мы видим, что левая часть выражения содержит основание $3$ и $2$ в степени. Мы можем преобразовать это следующим образом:

$3^{2x} \cdot 2^x = (3^2)^x \cdot 2^x = 9^x \cdot 2^x.$

Теперь у нас есть:

$9^x \cdot 2^x = 2^2 \cdot 3^4.$

Мы видим, что теперь основания совпадают, и мы можем приравнять показатели степеней:

$9^x \cdot 2^x = 2^2 \cdot 3^4 \Rightarrow 9^x \cdot 2^x = 4 \cdot 81.$

Заметим, что $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, тогда:

$(3^2)^x \cdot 2^x = 4 \cdot (3^4) \Rightarrow 3^{2x} \cdot 2^x = 4 \cdot 3^4.$

Теперь у нас получилось уравнение с одним основанием:

$3^{2x} \cdot 2^x = 4 \cdot 81.$

Мы можем выразить $4$ и $81$ как степени:

$3^{2x} \cdot 2^x = 2^2 \cdot 3^4.$

Теперь, так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степеней:

$2x = 2 \text{ (по основанию } 3)$ $x = 1.$

Итак, решение уравнения $3^{2x} \cdot 2^x = 324$ равно $x = 1$.