Question

В правильном тетраэдре ABCD точка М – середина ребра CD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую ВМ и перпендикулярной плоскости ABD. Найти площадь сечения, если |AB| =  a.

Answer 1

В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны между собой, а грани - правильные треугольники.
Примем для удобства длину ребра а = 1.
В грани ABD проведём апофему DЕ.
Плоскость CDЕ перпендикулярна плоскости ABD.
Из точки М опустим перпендикуляр МК на DЕ.
След заданной секущей плоскости в грани ABD будет проходить через отрезок ВК - обозначим его ВР.
Получим в сечении треугольник МВР.

Сторона ВМ как медиана и высота равна √3/2.
Рассмотрим плоскость CDЕ. Надо определить положение точки К.
Проведём среднюю линию ММ1, она равна половине высоты основания СЕ, то есть (√3/2)/2 = √3/4.
Высота DО как высота правильного тетраэдра равна √(2/3).
Проекция ОЕ апофемы DЕ на основание - это (1/3) высоты основания СЕ. То есть ОЕ = (1/3)*(√3/2) = √3/6.
Тангенс угла DЕО равен √(2/3)/(√3/6) = 2√2.
Косинус этого угла равен 1/√(1+(2√2)²) = 1/3.
Отрезок КМ1 = ММ1*cos DЕО = (√3/4)*(1/3) = √3/12.
Тогда ЕК = (√3/4) + (√3/12) = 4√3/12 = √3/3.
Рассмотрим грань АВD.
Тангенс угла РВА равен тангенсу угла КВЕ = (√3/3)/(1/2) = 2√3/3.
Определим проекцию АР1 точки Р на АВ. Примем её за х.
x*tg 60° = (1-x)*tg (KBE).
x*√3 = 2√3/3 - (2√3/3)*x.
Отсюда х = 2/5. 
В плоскости АВD размер по высоте равен х*tg 60° = 2√3/5.
Тогда длина отрезка AР = √((2/5)² + (2√3/5)²) = √((4/25) + (12/25)) = 4/5.

Отрезок РD давен 1 – (4/5) = 1/5,

Отрезок ВР = √((1-(2/5))² + (2√3/5)²) = √((9/25) + (12/25)) = √21/5.
Осталось найти длину отрезка РМ.

Её найдём по теореме косинусов: РМ = √((1/5)2+(1/2)2-2*(1/5)*(1/2)*cos60) = √19/10.

Теперь находим площадь заданного сечения -  треугольника ВРМ – которая определяется по формуле:

S(ВРМ) = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Подставляем длины сторон: ВР = √21/5, РМ = √19/10 и ВМ = √3/2.

Полупериметр р = (a+b+c)/2 = 1,109215.

Подставив значения в формулу, получим S = 0,187083.

С учётом задания, что сторона равна а, то окончательный ответ:

 S = 0,187083 а².

Answer 2

Для начала построим тетраэдр. Так как точка М является серединой ребра CD, то можно построить точку M на середине отрезка CD.

Поскольку плоскость проходит через прямую BM и перпендикулярна плоскости ABD, она будет параллельна плоскости ABD. Так как тетраэдр правильный, плоскость, проходящая через прямую BM и параллельная плоскости ABD, также будет параллельна плоскостям BCD и ACD.

Теперь, чтобы найти площадь сечения, нужно определить форму сечения. Так как сечение проходит через точку М, оно будет параллелограммом.

По условию известно, что |AB| = a, где a - длина ребра тетраэдра.

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу:

Площадь параллелограмма = |BM| * |MC|,

где |BM| – длина стороны параллелограмма, проходящей через точку М, и |MC| – высота параллелограмма.

Для правильного тетраэдра известно, что каждая сторона равна a. Так как М является серединой CD, то |MC| = |MD| = a/2.

Таким образом, площадь сечения:

Площадь сечения = |BM| * |MC| = a * a/2 = a^2/2.