Question

Найти общее решение дифф. уравнения y'''+4y''+5y'+2y=(12x+16)*e^x

Answer 1

Найдем сначала общее однородное уравнение

$y'''+4y''+5y'+2y=0$

Перейдем к характеристическому уравнению. 
Пусть  $y=e^{kx}$, тогда получаем

$k^3+4k^2+5k+2=0\\ k^3+k^2+3k^2+3k+2k+2=0\\ k^2(k+1)+3k(k+1)+2(k+1)=0\\ (k+1)(k^2+3k+2)=0\\ (k+1)(k^2+k+2k+2)=0\\ (k+1)(k(k+1)+2(k+1))=0\\ (k+1)^2(k+2)=0\\ k=-1\\ k=-2$

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

$y_o=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}$

Нахождение частного решения;

$y'''+4y''+5y'+2y=4e^x(3x+4)$

n=1 то частное решение будем искать в виде:  $\widetilde{y}=e^x(Ax+B)$

Найдем производные

$y'=e^x(Ax+A+B)\\ \\ y''=e^x(2A+Ax+B)\\ \\ y'''=e^x(B+3A+Ax)$

Подставим в исходное уравнение, сократив на  $e^x$

$B+3A+Ax+8A+4Ax+4B+5Ax+5A+5B+2Ax+2B=\\ \\ \\ =12x+16\\ \\ \\ 12Ax+16A+12B=12x+16$

Приравниваем коэффициенты при степени х

$\displaystyle \left \{ {{12A=12} \atop {16A+12B=16}} \right. \to \left \{ {{A=1} \atop {B=0}} \right.$

Тогда решение частного решения будет иметь вид:

$\widetilde{y}=xe^x$

Общее решение данного дифференциального уравнения:

$\boxed{\dot{y}=y_o+\widetilde{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}+xe^x}$

Answer 2

Для поиска общего решения данного линейного однородного дифференциального уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами, сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y''' + 4y'' + 5y' + 2y = 0

Для этого уравнения найдем характеристическое уравнение:

r^3 + 4r^2 + 5r + 2 = 0

Теперь решим характеристическое уравнение:

(r^2 + 2r + 1)(r + 2) = 0

(r + 1)^2(r + 2) = 0

Здесь у нас есть кратный корень r = -1 и одиночный корень r = -2. Общее решение однородного уравнения можно записать в следующем виде:

y_h(x) = (C1 + C2x)e^(-x) + C3e^(-2x)

Где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.

Теперь рассмотрим неоднородную часть уравнения:

(12x + 16)e^x

Чтобы найти частное решение этой неоднородной части, можно воспользоваться методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = (Ax^2 + Bx + C)e^x

Теперь найдем производные:

y_p'(x) = (2Ax + B + (Ax^2 + Bx + C))e^x = (Ax^2 + (2A + B)x + (B + C))e^x y_p''(x) = (2Ax + 2A + B)e^x y_p'''(x) = 2Ae^x

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

2Ae^x + 4(2Ax + 2A + B)e^x + 5(2Ax + B + C)e^x + 2(Ax^2 + Bx + C)e^x = (12x + 16)e^x

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и при e^x:

2A + 8A + 4B + 10Ax + 5B + 5C + 2Ax^2 + 2Bx + 2C = 12x + 16

Теперь сгруппируем слагаемые:

(2A + 8A) + (4B + 5B) + (10Ax + 2Ax^2) + (5C + 2C) = 12x + 16

10A + 9B + (10Ax + 2Ax^2) + 7C = 12x + 16

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x:

10A = 0 => A = 0 9B + 7C = 16 10Ax + 2Ax^2 = 12x

Из первого уравнения мы нашли, что A = 0. Теперь рассмотрим второе уравнение:

9B + 7C = 16

Теперь рассмотрим третье уравнение:

10Ax + 2Ax^2 = 12x 2Ax(x + x^2) = 12x 2Ax^2(x + 1) = 12x 2Ax^2 = 12x Ax^2 = 6x A = 6/x

Теперь, зная A, можем найти B:

9B + 7C = 16 9B + 7C = 16 9(6/x) + 7C = 16 54/x + 7C = 16 7C = 16 - 54/x 7C = (16x - 54)/x C = (16x - 54)/(7x)

Теперь, зная A, B и C, можем записать частное решение:

y_p(x) = (6/x^2)x^2 + Bx + (16x - 54)/(7x))e^x y_p(x) = 6 + Bx + (16x - 54)/(7x))e^x

Таким образом, частное решение неоднородной части уравнения:

(12x + 16)e^x

равно:

y_p(x) = 6 + Bx + (16x - 54)/(7x))e^x

Теперь можем записать общее решение всего дифференциального уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = (C1 + C2x)e^(-x) + C3e^(-2x) + 6 + Bx + (16x - 54)/(7x))e^x

Где C1, C2, C3 и B - произвольные постоянные, которые зависят от начальных условий задачи.