Question

Решить систему в целых числах а) {х^2+y^2=8 х+у=4 б){х^2+y^2=7 х-у=1

Answer 1

$\begin{cases}x^2+y^2=8\\x+y=4=\ \textgreater \ x=4-y\end{cases}\\(4-y)^2+y^2=8\\16-8y+y^2+y^2=8\\2y^2-8y+8=0\\y^2-4y+4=0\\(y-2)^2=0\\y-2=0\\y=2\\x=4-2=2\\OTBET:(2;2)$

$\begin{cases}x^2+y^2=7\\x-y=1=\ \textgreater \ x=y+1\end{cases}\\(y+1)^2+y^2=7\\y^2+2y+1=7\\2y^2+2y-6=0\\y^2+y-3=0\\y_{1,2}=\frac{-1^+_-\sqrt{13}}{2}\\y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\ y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\\x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\ x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}\\OTBET:(\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1-\sqrt{13}}{2})$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую систему уравнений по отдельности и попробуем найти целочисленные решения.

а) Система уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 8$
2. $x + y = 4$

Для начала, мы можем рассмотреть все возможные значения $x$ и $y$ в пределах целых чисел, которые удовлетворяют уравнению $x + y = 4$. Возможными целочисленными решениями для этого уравнения будут:

$(x, y) = (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)$

Теперь мы можем проверить каждое из этих решений в уравнении $x^2 + y^2 = 8$ и увидеть, какие из них соответствуют этому уравнению.

Для $x = 0$ и $y = 4$: $0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16$

Для $x = 1$ и $y = 3$: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$

Для $x = 2$ и $y = 2$: $2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

Для $x = 3$ и $y = 1$: $3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

Для $x = 4$ и $y = 0$: $4^2 + 0^2 = 16 + 0 = 16$

Таким образом, единственной парой целых чисел, которая удовлетворяет обоим уравнениям в системе а) является $x = 2$ и $y = 2$.

б) Система уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 7$
2. $x - y = 1$

Так же, как и в предыдущем случае, давайте рассмотрим все возможные целочисленные значения $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $x - y = 1$. Возможными решениями будут:

$(x, y) = (0, -1), (1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3)$

Теперь проверим каждое из этих решений в уравнении $x^2 + y^2 = 7$:

Для $x = 0$ и $y = -1$: $0^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1$

Для $x = 1$ и $y = 0$: $1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$

Для $x = 2$ и $y = 1$: $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

Для $x = 3$ и $y = 2$: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

Для $x = 4$ и $y = 3$: $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

Таким образом, в системе б) нет целочисленных решений, которые бы одновременно удовлетворяли оба уравнения.