Question

Найти предел функции lim (sin 5x) ^tg31x При х стремящимся к 0

Answer 1

Решение приложено в картинке.

Answer 2

Чтобы найти предел функции $(\sin(5x))^{tg(31x)}$ при $x$ стремящемся к 0, мы можем воспользоваться свойствами пределов и использовать определение $a^b = e^{b \ln(a)}$, где $e$ - основа натурального логарифма.

Таким образом, можно записать данную функцию следующим образом:

$$\lim_{x \to 0} (\sin(5x))^{tg(31x)} = \lim_{x \to 0} e^{tg(31x) \ln(\sin(5x))}$$

Теперь мы имеем произведение двух функций вида $e^{g(x)}$, где $g(x) = tg(31x) \ln(\sin(5x))$.

Мы можем разделить задачу на две части:

1. Найдем предел $g(x) = tg(31x) \ln(\sin(5x))$ при (x \to 0).

2. Найдем предел $e^{g(x)}$ при (x \to 0) на основе результата первой части.

Давайте начнем с первой части. Разложим функцию $g(x)$ в ряд Тейлора в окрестности $x = 0$:

$$g(x) = tg(31x) \ln(\sin(5x)) \approx \frac{31x}{\cos(31x)} \ln(5x)$$

Теперь вычислим предел этой функции при $x \to 0$:

$$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{31x}{\cos(31x)} \ln(5x) = 0 \cdot (-\infty) = 0$$

Вторая часть задачи - найти предел $e^{g(x)}$ при $x \to 0$ на основе результата первой части:

$$\lim_{x \to 0} e^{g(x)} = e^{\lim_{x \to 0} g(x)} = e^0 = 1$$

Таким образом, предел функции $(\sin(5x))^{tg(31x)}$ при $x$ стремящемся к 0 равен 1.