Question

Доказать, что окружность, вписанная в равнобокую трапецию, касается оснований в их серединах.

Answer 1

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, высота трапеции есть среднее пропорциональное между ее основаниями. Диаметр - это средняя линия в равнобокой трапеции

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим равнобокую трапецию и её вписанную окружность.

Пусть у нас есть равнобокая трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Давайте обозначим точку касания окружности с боковой стороной BC как E, а точку касания с боковой стороной AD как F.

Так как ABCD - равнобокая трапеция, то её основания AB и CD равны. Пусть это расстояние равно "h".

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDE. Они оба прямоугольные, так как они имеют противоположные углы по ту сторону от оснований, и угол между радиусом окружности и касательной равен 90 градусов.

Так как AB = CD, и треугольники ABE и CDE имеют общий катет BE = DE (это радиус окружности), то эти треугольники подобны друг другу по признаку схожих прямоугольных треугольников.

Из подобия треугольников мы можем утверждать следующее:

ABE / CDE = AE / CE

Так как AE и CE - это отрезки, проведенные от вершин A и C к точке касания окружности с боковой стороной BC, то они равны радиусу окружности. Давайте обозначим радиус окружности как "r".

Теперь мы можем переписать наше уравнение:

ABE / CDE = r / r

ABE / CDE = 1

Таким образом, выяснили, что высота треугольника ABE (ABE) равна высоте треугольника CDE (CDE). Но общая высота равнобокой трапеции подразумевает, что точки E и F делят боковые стороны BC и AD пополам, то есть они являются серединами этих сторон.

Таким образом, окружность, вписанная в равнобокую трапецию, касается её оснований в их серединах, что и требовалось доказать.